[论文解读] The High Precision Numerical Calculation of Stieltjes Constants. Simple and Fast Algorithm

K. Maślanka, Andrzej Koleżyński|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2022

Analytic Number Theory Research被引用 1

一句话总结

本文提出了一种高度高效且数学上简单的算法，通过利用黎曼ζ函数的超几何型展开式以及在等距实数点上对ζ(1 + jε)进行高精度计算，实现了对Stieltjes常数的超高速度、超高精度（高达80,000位有效数字）计算。该方法的成功依赖于修复了PARI/GP中ζ函数计算的一个关键错误，该错误在极高精度下曾引入误差。

ABSTRACT

We present a simple but efficient method of calculating Stieltjes constants at a very high level of precision, up to about 80000 significant digits. This method is based on the hypergeometric-like expansion for the Riemann zeta function presented by one of the authors in 1997 \cite{Maslanka 1}. The crucial ingredient in this method is a sequence of high-precision numerical values of the Riemann zeta function computed in equally spaced real arguments, i.e. $ζ(1+\varepsilon),ζ(1+2\varepsilon),ζ(1+3\varepsilon),...$ where $\varepsilon$ is some real parameter. (Practical choice of $\varepsilon$ is described in the main text.) Such values of zeta may be readily obtained using the PARI/GP program, which is especially suitable for this.

研究动机与目标

• 开发一种数值高效且数学上简单的方法，用于在极高精度下计算Stieltjes常数。
• 克服经典定义中Stieltjes常数的极端缓慢收敛问题，该问题在追求高精度时需要天文数字级的求和。
• 实现Stieltjes常数在高达80,000位有效数字的可靠计算，这一精度范围此前因计算与数值不稳定性而无法达到。
• 识别并修复PARI/GP中ζ函数实现中的一个关键错误，该错误在极高精度下会破坏结果，尤其影响该算法的可靠性。
• 为未来研究中推导Stieltjes常数更精确的渐近展开式提供坚实基础。

提出的方法

• 该方法以作者之一于1997年提出的黎曼ζ函数的超几何型展开式为核心分析框架。
• 利用PARI/GP计算机代数系统，计算实数点ζ(1 + jε)在j = 1, 2, ...处的高精度值。
• 该算法依赖于ζ函数值序列的正则化形式，通过有限差分技术和级数反演提取Stieltjes常数。
• ζ函数计算的精度至关重要；作者使用了经过自定义配置的PARI/GP，并测试了多种编译器、操作系统和硬件平台以确保正确性。
• 在多个环境和PARI/GP版本上进行了广泛测试，以隔离并识别出欧拉-麦克拉劳林算法中伯努利数计算的舍入误差。
• 修复PARI/GP中的该错误——即伯努利数缓存过程中发生的双重舍入——是实现在74,000位和80,000位精度下可靠结果的关键。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用一种简单且高效的算法，可靠地将Stieltjes常数计算到80,000位有效数字？
• RQ2 计算高精度Stieltjes常数的主要数值障碍是什么？如何克服？
• RQ3 PARI/GP中的ζ函数实现是否在极高精度下依然准确，特别是对于ζ(1 + jε)？
• RQ4 高精度ζ函数计算中系统性错误的成因是什么？如何追踪并修正？
• RQ5 修正后的ζ函数数据是否能支持推导出Stieltjes常数更精确的新渐近展开式？

主要发现

• 该算法成功将Stieltjes常数计算至80,000位有效数字，为这一类常数实现了前所未有的精度。
• 该方法的高效与简洁源于使用超几何型展开式，以及在等距实数点上对ζ函数值进行正则化计算。
• 识别并修复了PARI/GP中ζ函数计算的一个关键错误：在缓存过程中对伯努利数发生双重舍入，该错误曾导致74,000位和80,000位精度下的结果被破坏。
• 该错误仅在极高精度下显现，低精度计算中无法检测，凸显了在极端精度算术中进行严格测试的必要性。
• 修正后的PARI/GP实现使可靠ζ函数数据得以恢复，这对算法的成功至关重要。
• 结果验证了该算法的鲁棒性，并为未来研究中推导Stieltjes常数更精确的渐近展开式开辟了道路。