[论文解读] The Higson-Roe sequence for \\'{e}tale groupoids. I. Dual algebras and compatibility with the BC map

Moulay-Tahar Benameur, Indrava Roy|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Advanced Topics in Algebra被引用 5

一句话总结

本文为豪斯多夫局部紧的埃泰勒群胚作用引入了对偶罗代数，建立了希森-罗伊的分析手术正合序列。通过帕施克-希森对偶性构造，将相关K-理论六项序列中的边界映射与鲍姆-康奈斯映射联系起来，并为具有有界几何的连续G-族流形定义了一个粗G-指标，推广了帕特森和康奈斯的指标类。

ABSTRACT

We introduce the dual Roe algebras for proper \\'{e}tale groupoid actions and deduce the expected Higson-Roe short exact sequence. When the action is cocompact, we show that the Roe $C^*$-ideal of locally compact operators is Morita equivalent to the reduced $C^*$-algebra of our groupoid, and we further identify the boundary map of the associated periodic six-term exact sequence with the Baum-Connes map, via a Paschke-Higson map for groupoids. For proper actions on continuous families of manifolds of bounded geometry, we associate with any $G$-equivariant Dirac-type family, a coarse index class which generalizes the Paterson index class and also the Moore-Schochet Connes' index class for laminations.

研究动机与目标

• 将希森-罗伊分析手术正合序列推广至豪斯多夫埃泰勒群胚的正规作用。
• 为正规埃泰勒群胚作用定义对偶罗代数，并建立相应的短正合序列。
• 通过帕施克-希森对偶性，将周期K-理论正合序列中的边界映射与鲍姆-康奈斯汇编映射相联系。
• 通过粗G-指标构造，将帕特森指标类与摩尔-肖歇特-康奈斯指标类推广至有界几何流形的连续G-族。
• 在共紧作用下，建立局部紧算子的罗代数C*-理想与群胚的约化C*-代数之间的莫里塔等价。

提出的方法

• 利用连续希尔伯特模丛与正规算子，为正规埃泰勒群胚作用构造对偶罗代数。
• 应用帕施克-希森对偶性，将K-理论正合序列中的边界映射与鲍姆-康奈斯映射关联。
• 利用正规算子的谱定理，在由连续有界自伴算子族诱导的希尔伯特模上定义函数演算。
• 为连续有界几何流形族上的G-等变狄拉克型族定义粗G-指标类。
• 当作用为共紧时，建立罗代数C*-理想与群胚的约化C*-代数之间的莫里塔等价。
• 将希森-罗伊程序应用于群胚作用，将经典手术正合序列推广至非光滑、非紧致情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将希森-罗伊分析手术正合序列推广至埃泰勒群胚的正规作用？
• RQ2 对偶罗代数在为埃泰勒群胚构造希森-罗伊序列中起什么作用？
• RQ3 在群胚设定下，K-理论六项序列中的边界映射如何与鲍姆-康奈斯汇编映射关联？
• RQ4 能否通过有界几何流形的连续G-族的广义指标，统一层状结构的粗指标类与帕特森的指标类？
• RQ5 在何种条件下，罗代数C*-理想与群胚的约化C*-代数之间存在莫里塔等价？

主要发现

• 对偶罗代数构造为正规埃泰勒群胚作用提供了希森-罗伊短正合序列。
• 当作用为共紧时，局部紧算子的罗代数C*-理想与群胚的约化C*-代数之间存在莫里塔等价。
• 通过帕施克-希森对偶性构造，周期K-理论六项正合序列中的边界映射被识别为鲍姆-康奈斯映射。
• 为任意G-等变狄拉克型族在连续G-族有界几何流形上定义了粗G-指标类，该类同时推广了帕特森与康奈斯的指标类。
• 希尔伯特模上正规算子的函数演算与连续有界算子族相容，确保了指标构造的良定义性。
• 该构造提供了非光滑、非紧致情形下手术正合序列的推广，将希森-罗伊程序扩展至埃泰勒群胚设定。