[论文解读] The Hilbert schemes of points on surfaces with rational double point singularities

Xudong Zheng|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文证明了在具有至多为 ADE 型（即有理双曲点）奇点的正常准射影曲面上，其点的 Hilbert 模型在所有 d > 0 时均为不可约，从而将 Fogarty 的光滑性结果推广至奇异曲面。证明依赖于 ADE 奇点上反射模的形变理论与矩阵分解，表明零维子概形的几何结构由有限型的挠模控制。

ABSTRACT

We prove that the Hilbert scheme of points on a normal quasi-projective surface with at worst rational double point singularities is irreducible.

研究动机与目标

• 建立具有有理双曲点（ADE）奇点的曲面上点的 Hilbert 模型的不可约性。
• 将经典光滑曲面上的结果（如 Fogarty 的光滑性定理）推广至具有轻微奇点的奇异曲面。
• 研究奇异曲面上的 Hilbert 模型是否仍保持不可约，尤其与已知的可约情形（如扭立方曲线的锥面）进行对比。
• 提供几何应用，包括对仿射二次锥面的 Hilbert-Chow 映射的爆破描述。
• 厘清奇异曲面奇点上可形变与不可形变的零维子概形之间的边界。

提出的方法

• 利用 ADE 奇点上反射模的分类，这些模有限且可通过矩阵分解获得自由解析列。
• 应用反射模的形变理论，研究在奇点处支持的零维子概形的嵌入形变。
• 运用 Hilbert-Burch 定理与同调代数分析理想层的局部结构及其解析列。
• 在格拉斯曼流形上使用 Pfaffian 构造，检测奇点切锥中长度为 8 的概形的可形变性。
• 应用施普伦格尔微积分，证明对于嵌入维数为 4 的一般 ADE 型奇点，当 d ≥ 8 时 Hilbert 模型变为可约。
• 通过理想包含关系与在全 Hilbert 模型中切空间维数的比较，显式构造不可形变的子概形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有有理双曲点奇点的曲面，其点的 Hilbert 模型在所有 d > 0 时是否不可约？
• RQ2 能否将光滑曲面上 Hilbert 模型的光滑性判别准则推广至具有 ADE 奇点的曲面？
• RQ3 对于奇异曲面（如仿射二次锥面）的 Hilbert-Chow 映射，其几何结构如何？
• RQ4 哪些奇异曲面的点的 Hilbert 模型是可约的？可约性在何种最小 d 值时发生？
• RQ5 在奇异曲面上，哪些零维子概形不可形变？其代数检测方法为何？

主要发现

• 对于任意具有至多为有理双曲点（ADE）奇点的正常准射影曲面 X 及任意 d > 0，Hilbert 模型 $\mathrm{Hilb}^{d}(X)$ 是不可约的。
• Hilbert 模型 $\mathrm{Hilb}^{d}(X)$ 的维数为 $2d$，与光滑情形一致；且在点 $[Z]$ 处光滑当且仅当理想 $I_Z$ 在 $X$ 上具有有限同调维数。
• 对于 $A_n$ 奇点 $X = \mathrm{Spec}(\mathbb{C}[x,y,z]/\langle xz - y^{n+1}\rangle)$，Hilbert 模型 $\mathrm{Hilb}^{d}(X)$ 具有一个处处非零的 $2d$-形式。
• 对于仿射二次锥面 $Q = \mathrm{Spec}(\mathbb{C}[x,y,z]/\langle xz - y^2\rangle)$，其 Hilbert-Chow 映射同构于将 $d$ 阶对称积 $Q^{(d)}$ 沿两个 $S_d$-交错函数乘积的理想进行爆破。
• 对于扭立方曲线的锥面，$\mathrm{Hilb}^{8}(X)$ 是可约的，且存在不可形变的长度为 8 的子概形，其切空间维数为 $29 < 32$ 所证明。
• 对于由三个二次型定义的、嵌入维数为 4 的一般有理曲面奇点，当 $d \geq 8$ 时，$\mathrm{Hilb}^{d}(X)$ 是可约的，此结论通过 Pfaffian 退化性与 Schubert 微积分得出。