[论文解读] The Hilbert spectrum and the Energy Preserving Empirical Mode Decomposition

Pushpendra Singh, Shiv Dutt Joshi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Machine Fault Diagnosis Techniques参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文提出了两种能量保持的经验模态分解（EPEMD）算法，确保信号在分解为本征模函数（IMF）时总能量保持不变。第一种算法生成线性无关、非正交但能量保持的IMF（LINOEP），第二种算法采用逆序Gram-Schmidt正交化方法，生成正交且不相关的IMF，显著减少能量泄漏，并提升希尔伯特谱的时间-频率分辨率。

ABSTRACT

In this paper, we propose algorithms which preserve energy in empirical mode decomposition (EMD), generating finite $n$ number of band limited Intrinsic Mode Functions (IMFs). In the first energy preserving EMD (EPEMD) algorithm, a signal is decomposed into linearly independent (LI), non orthogonal yet energy preserving (LINOEP) IMFs and residue (EPIMFs). It is shown that a vector in an inner product space can be represented as a sum of LI and non orthogonal vectors in such a way that Parseval's type property is satisfied. From the set of $n$ IMFs, through Gram-Schmidt orthogonalization method (GSOM), $n!$ set of orthogonal functions can be obtained. In the second algorithm, we show that if the orthogonalization process proceeds from lowest frequency IMF to highest frequency IMF, then the GSOM yields functions which preserve the properties of IMFs and the energy of a signal. With the Hilbert transform, these IMFs yield instantaneous frequencies and amplitudes as functions of time that reveal the imbedded structures of a signal. The instantaneous frequencies and square of amplitudes as functions of time produce a time-frequency-energy distribution, referred as the Hilbert spectrum, of a signal. Simulations have been carried out for the analysis of various time series and real life signals to show comparison among IMFs produced by EMD, EPEMD, ensemble EMD and multivariate EMD algorithms. Simulation results demonstrate the power of this proposed method.

研究动机与目标

• 为解决传统EMD中IMF能量之和不等于原始信号能量的问题，即能量泄漏问题。
• 建立数学上严谨的框架，用于生成能量保持、线性无关、非正交的IMF（LINOEP）。
• 通过在逆序频率下应用Gram-Schmidt正交化，消除能量泄漏，同时保持IMF特性与信号总能量。
• 通过显著性检验与EMD、EEMD、MEMD在合成信号和真实信号上的对比，验证所提出的EPEMD方法。

提出的方法

• 提出首个EPEMD算法，生成LINOEP IMF及其残差，确保在非正交、线性无关分解中满足类似Parseval的能量保持性质。
• 对LINOEP IMF集合应用Gram-Schmidt正交化（GSOM），生成n!种可能的正交函数集合。
• 引入逆序GSOM过程——从最低频到最高频IMF开始——以在正交化过程中保持IMF特性与能量。
• 对所得正交IMF应用希尔伯特变换，计算瞬时频率与振幅，形成以时间-频率-能量分布为特征的希尔伯特谱。
• 通过散布函数图进行显著性检验，评估IMF分量是否反映真实信号而非噪声，使用第5和第95百分位数作为置信区间边界。
• 在EMD、EEMD、MEMD与所提出的EPEMD方法之间，比较能量泄漏（Pee）、正交性指数及希尔伯特谱分辨率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将信号分解为线性无关、非正交但能量保持的IMF，同时保持本征模函数的特性？
• RQ2 在逆序频率下应用Gram-Schmidt正交化是否能同时保持IMF特性与总信号能量？
• RQ3 与传统EMD、EEMD和MEMD相比，所提出的EPEMD方法在减少能量泄漏方面表现如何？
• RQ4 EPEMD生成的IMF是否具有统计显著性，还是仅反映噪声引起的虚假分量？
• RQ5 与现有EMD变体相比，由EPEMD导出的希尔伯特谱在时间-频率-能量分辨率方面清晰度提升程度如何？

主要发现

• 第一种EPEMD算法成功生成LINOEP IMF及其残差，通过满足类似Parseval性质的良态数学公式，确保能量保持。
• 第二种EPEMD算法采用逆序GSOM，生成正交且不相关的IMF（ROIMFs和ROUIMFs），同时保持IMF特性与总信号能量。
• 能量泄漏（Pee）在EPEMD中降低至3.181×10⁻¹³，远低于EMD的-1.014×10⁷和EEMD的113.54，表明近乎完美的能量守恒。
• 显著性检验显示，EPIMFs、ROIMFs和ROUIMFs始终位于白高斯噪声的第5和第95百分位数边界内，确认其代表真实信号分量，而EMD和EEMD的许多IMFs与FOIMFs则并非如此。
• 线性chirp信号的时间-频率分析表明，由于能量泄漏可忽略不计，EPEMD能实现更优的跟踪性能，且伪影极少。
• 整体与部分正交性指数表明，ROIMFs与ROUIMFs在正交性方面相比传统EMD与EEMD有显著提升。