[论文解读] The Hitting Times with Taboo for a Random Walk on an Integer Lattice

E. Vl. Bulinskaya|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文研究对称、不可约的随机游走于 Z^d 上的首 hitting 时间（带禁忌状态），重点分析从 x 出发、在到达目标状态 y 之前避开禁忌状态 z 的概率。研究发现，当 d ≥ 2（排除 Z 上的简单随机游走）时，首 hitting 时间分布的尾部衰减速率仅依赖于维度 d；而当为 Z 上的简单随机游走时，衰减速率与存活概率则关键取决于 x、y、z 之间的相对位置。

ABSTRACT

For a symmetric, homogeneous and irreducible random walk on d-dimensional integer lattice Z^d, having zero mean and a finite variance of jumps, we study the passage times (with possible infinite values) determined by the starting point x, the hitting state y and the taboo state z. We find the probability that these passages times are finite and analyze the tails of their cumulative distribution functions. In particular, it turns out that for the random walk on Z^d, except for a simple (nearest neighbor) random walk on Z, the order of the tail decrease is specified by dimension d only. In contrast, for a simple random walk on Z, the asymptotic properties of hitting times with taboo essentially depend on the mutual location of the points x, y and z. These problems originated in our recent study of branching random walk on Z^d with a single source of branching.

研究动机与目标

• 刻画从 x 出发、在到达 y 之前避开 z 的对称、不可约随机游走首次 hitting 到 y 的概率。
• 分析存活函数 Hx,y,z(t) = P(T_{x,y,z} > t) 在 t → ∞ 时的渐近行为，特别是 Hx,y,z(∞) − Hx,y,z(t) 的衰减速率。
• 识别首 hitting 时间带禁忌几乎必然有限或以正概率有限的条件。
• 区分一般随机游走在 Z^d（d ≥ 2）与 Z 上简单随机游走的特殊情况之间的行为差异。
• 为理解原点处单一生殖源的分支随机游走中粒子轨迹提供理论基础。

提出的方法

• 将禁忌首 hitting 时间 Hx,y,z(t) 定义为从 x 出发、禁止访问 z 的情况下首次到达 y 的首达时间的累积分布函数。
• 使用连续时间连续时间马氏链的生成元 A 来建模随机游走，假设满足对称性、齐次性、不可约性以及跳跃方差有限。
• 采用转移概率的拉普拉斯变换 Gλ(x,y) = ∫₀^∞ e^{-λt} p(t;x,y) dt 来分析渐近行为。
• 应用傅里叶变换与最陡下降法，推导出转移概率的渐近展开式 p(t;x,y) ~ γ_d t^{-d/2}。
• 利用 Tauber 定理（如 [14] 第13章第5节中的定理4）将拉普拉斯变换在 λ → 0+ 时的行为与 Hx,y,z(t) 的尾部衰减速率联系起来。
• 当 d ≥ 4 时，对拉普拉斯变换表达式求 [d/2]−1 阶导数，并通过比较渐近阶数来分离出主导项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 z 为禁忌状态时，首次 hitting 到 y 的时间是否有限？即 Hx,y,z(∞) ∈ [0,1]？
• RQ2 在不同维度 d 下，P(T_{x,y,z} > t) 随 t → ∞ 的衰减速率如何？
• RQ3 为何 Z 上的简单随机游走在渐近行为上与高维游走有本质不同？
• RQ4 在一维情况下，x、y、z 的相对位置如何影响存活概率与衰减速率？
• RQ5 格林函数 G₀(x,y) 在决定禁忌首 hitting 时间的渐近行为中起什么作用？

主要发现

• 当 d ≥ 3 时，一般对称随机游走在 Z^d 上的禁忌首 hitting 时间的尾部衰减速率为 t^{-(d+1)/2}，且与 x、y、z 无关，此时 Hx,y,z(∞) ∈ (0,1)。
• 当 d = 2 时，尾部衰减为对数型：Hx,y,z(∞) − Hx,y,z(t) ∼ C / log t（t → ∞），其中 C > 0 依赖于 x、y、z。
• 当 d = 1 时，衰减速率与存活概率 Hx,y,z(∞) 严格依赖于 x、y、z 的相对位置；例如，若 x 与 y 异号，则 Hx,y,0(∞) = 0。
• 对于 Z 上的简单随机游走，当 0 < x < y 或 y < x < 0 时，衰减速率为指数型：存在 ε > 0，使得 Hx,y,0(∞) − Hx,y,0(t) ≤ e^{-εt}。
• 当在一维情况下 x < 0 < y 或 y < 0 < x 时，对所有 t 有 Hx,y,0(t) ≡ 0，因此存活概率为零，衰减为平凡情况。
• 当 d ≥ 4 时，Hx,y,z(∞) − Hx,y,z(t) 的渐近行为由拉普拉斯变换的 [d/2]−1 阶导数决定，主导贡献来自拉普拉斯变换差值分解中的第一项。