[论文解读] The Hochschild cohomology of a Poincaré algebra

Po Hu|ArXiv.org|Jul 27, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文证明了Poincaré代数的Hochschild上同调自然作用于带框架的二维小圆盘操作律 $ olimits\mathcal{D}_2$，推广了Chas与Sullivan的弦拓扑结果。通过Voronov的仙人掌操作律并定义仙人掌集，作者利用单纯化实现与对偶性，证明Poincaré代数的Hochschild同调的对偶结构继承了$ olimits\mathcal{D}_2$-代数结构。

ABSTRACT

In this note, we define the notion of a cactus set, and show that its geometric realization is naturally an algebra over Voronov's cactus operad, which is equivalent to the framed 2-dimensional little disks operad $\mathcal{D}_2$. Using this, we show that the Hochschild cohomology of a Poincaré algebra A is an algebra over (the chain complexes of) $\mathcal{D}_2$.

研究动机与目标

• 识别其上同调自然携带$ olimits\mathcal{D}_2$-代数结构的代数结构。
• 将Chas与Sullivan关于$H_*(LM)$的弦拓扑结果推广至更广泛的代数类。
• 定义并利用仙人掌集作为$ olimits\mathcal{D}_2$-代数的组合模型。
• 通过仙人掌操作律作用证明Poincaré代数的Hochschild同调的对偶结构是$ olimits\mathcal{D}_2$-代数。
• 建立Poincaré代数与上同调中带框架的小圆盘操作律结构之间的联系。

提出的方法

• 定义仙人掌集为具有额外结构的循环对象，包括特殊点及交点处的循环排序。
• 构造仙人掌集的单纯化实现，其自然地接受仙人掌操作律$ olimits\mathcal{C}$的作用。
• 利用仙人掌操作律$ olimits\mathcal{C}$与带框架的小圆盘操作律$ olimits\mathcal{D}_2$同伦等价的事实。
• 对Poincaré代数$A$的循环cobar构造$C_{\text{cyclic}}(A)$应用对偶性，其同构于$A^{\bigotimes n+1}$并具有循环对称性。
• 证明Hochschild同调$HH_*(A)^\vee$的对偶结构通过仙人掌操作律作用继承$ olimits\mathcal{D}_2$-代数结构。
• 利用$ olimits\mathcal{C}$与$ olimits\mathcal{D}_2$之间的等价性，得出Hochschild上同调$HC^*(A)$是$ olimits\mathcal{D}_2$-代数的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些代数结构的上同调自然地具有$ olimits\mathcal{D}_2$-代数结构？
• RQ2 仙人掌操作律如何用于同调代数中$ olimits\mathcal{D}_2$-代数结构的建模？
• RQ3 Poincaré代数的Hochschild上同调是否携带$ olimits\mathcal{D}_2$-代数结构？
• RQ4 Poincaré代数上的cobar构造能否通过duality实现$ olimits\mathcal{D}_2$-代数结构？
• RQ5 Hochschild同调与上同调之间的对偶性如何与$ olimits\mathcal{D}_2$-代数结构相关联？

主要发现

• Poincaré代数的Hochschild同调的对偶结构自然作用于带框架的二维小圆盘操作律$ olimits\mathcal{D}_2$。
• 仙人掌集为$ olimits\mathcal{D}_2$-代数提供了组合模型，其单纯化实现自然地接受仙人掌操作律的作用。
• 仙人掌操作律$ olimits\mathcal{C}$与$ olimits\mathcal{D}_2$同伦等价，使得$ olimits\mathcal{D}_2$-结构可通过duality传递至上同调。
• 对于Poincaré代数$A$，Hochschild上同调$HC^*(A)$同构于Hochschild同调的对偶$HH_*(A)^\vee$，后者继承了$ olimits\mathcal{D}_2$-代数结构。
• 该构造推广了Chas与Sullivan关于$H_*(LM)$的结果，表明$HC^*(C^*(M)) \simeq C_*(LM^{\nu_M})$并具有$ olimits\mathcal{D}_2$-代数结构。