[论文解读] The Hochschild cohomology ring of the standard Podles quantum sphere

Ulrich Kraehmer|ArXiv.org|Jun 10, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文通过上杯积与上帽积计算了标准Podleß量子2-球面 $\mathbb{C}_q[S^2]$ 的扭曲Hochschild上同调环，构造了一个代表基本类的循环2-上循环。结果表明，一个通过扭曲导子与迹定义的Hochschild同调上的泛函 $\varphi$，在加上一个上边界后可下降为非平凡的循环上循环，从而解决了Connes-Moscovici的Hopf-循环同调框架中的一个关键问题。

ABSTRACT

The cup and cap product in twisted Hochschild (co)homology is computed for the standard quantum 2-sphere and used to construct a cyclic 2-cocycle that represents the fundamental Hochschild class.

研究动机与目标

• 计算标准Podleß量子2-球面 $\mathbb{C}_q[S^2]$ 的扭曲Hochschild（上）同调中的上杯积与上帽积。
• 构造一个代表循环同调中基本类的循环2-上循环，解决先前工作中在Hochschild同调上出现的平凡性问题。
• 阐明扭曲导子与模自同构 $\sigma_{\text{mod}}$ 在上同调中生成量子外代数结构中的概念性作用。
• 证明一个在 $H_2(A, {}_{\sigma_{\text{mod}}}A)$ 上的泛函 $\varphi$，最初不是循环的，可通过添加一个上边界变为非平凡的循环上循环。

提出的方法

• 计算扭曲导子 $[\partial_{\pm 1}] \in H^1(A, {}_{\sigma^{-1}_{\text{mod}}}A)$ 的上杯积，表明它们满足量子化的经典 $SU(2)$-不变向量场关系。
• 通过上帽积定义 $H_2(A, {}_{\sigma_{\text{mod}}}A)$ 上的泛函 $\varphi$：$\varphi([\omega]) = q^{-1} \int [\omega] \frown ([\partial_1] \smallsmile [\partial_{-1}])$，其中使用了来自 $\mathbb{C}_q[SL(2)]$ 的余元的扭曲迹 $\int$。
• 将 $A$ 的扭曲中心识别为多项式环 $k[x_0]$，并证明所有非平凡的 $H_2(A, {}_{\sigma^n_{\text{mod}}}A)$ 群的直和在该环上构成一个秩为一的自由模。
• 利用扭曲中心的上帽积作用描述 $H_2(A, {}_{\sigma^n_{\text{mod}}}A})$ 的结构及其与 $H^0(A,A)$ 的对偶性。
• 应用Connes的 $\mathsf{SBI}$-序列将Hochschild同调与循环同调联系起来，识别 $HC_n(A)$ 中的平衡项，并通过映射 $\mathsf{I}$ 隔离出相关部分。
• 在 $C_2^{\sigma_{\text{mod}}}$ 上构造一个上边界 $\eta = \phi \circ \mathsf{b}$，其中 $\phi$ 定义在特定张量单项式上，使得 $\varphi + \eta$ 是循环的且在 $HC_2(A)$ 上非平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准Podleß量子2-球面的扭曲Hochschild（上）同调中，上杯积与上帽积如何表现？
• RQ2 一个通过扭曲导子与迹定义的 $H_2(A, {}_{\sigma_{\text{mod}}}A)$ 上的泛函 $\varphi$，能否被提升为非平凡的循环上循环？
• RQ3 扭曲中心与模自同构 $\sigma_{\text{mod}}$ 在组织 $\mathbb{C}_q[S^2]$ 的Hochschild同调与上同调中起什么作用？
• RQ4 为什么Schmütgen-Wagner的循环2-上循环在Hochschild同调上为零？如何修正这一问题？
• RQ5 在非交换设定下，$HC_n(A)$ 的结构如何与底层的Hochschild同调及 $\mathsf{SBI}$-序列相关联？

主要发现

• 扭曲导子 $[\partial_1]$ 与 $[\partial_{-1}]$ 的上杯积满足量子关系：$[\partial_1]\smallsmile[\partial_1] = [\partial_1]\smallsmile[\partial_{-1}] + q^2[\partial_{-1}]\smallsmile[\partial_1] = [\partial_{-1}]\smallsmile[\partial_{-1}] = 0$，形成一个量子外代数。
• 在 $H_2(A, {}_{\sigma_{\text{mod}}}A)$ 上的泛函 $\varphi$ 的表达式为 $\varphi(a_0,a_1,a_2) = q^{-1}\varepsilon(a_0)F(a_1)E(a_2)$，其中 $E,F$ 是由 $\partial_{\pm 1}$ 导出的未扭曲导子。
• $A$ 的扭曲中心同构于 $k[x_0]$，且所有 $n \geq 1$ 的 $H_2(A, {}_{\sigma^n_{\text{mod}}}A)$ 的直和在该环上构成一个秩为一的自由模。
• $\varphi$ 不是循环的，因为 $\varphi(1,x_1,x_{-1}) = q^{-1} \neq 0$，但通过添加上边界 $\eta = \phi \circ \mathsf{b}$ 后变为循环。
• 上边界 $\eta$ 通过定义在 $A \otimes A$ 上的泛函 $\phi$ 构造，其非零值仅出现在 $\phi(1,x_0)$、$\phi(1,x_0^2)$ 与 $\phi(x_0,x_0)$，其具体值分别为 $\frac{1}{q^{-2}-1}$、$\frac{1}{q-q^{-1}}$ 与 $\frac{1}{2(q-q^{-1})}$。
• 修正后的泛函 $\varphi + \eta$ 是循环的，并在 $HC_2(A)$ 上诱导出一个非平凡泛函，从而解决了Schmütgen与Wagner等早期构造中的平凡性问题。