[论文解读] The Hodge group and endomorphism algebra of an Abelian variety

Mikhail Borovoi|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文建立了复数域上极化阿贝尔簇的自同态代数与霍奇群之间的确切关系。通过表示理论和该群在实与复分解上的伽罗瓦作用，证明了若自同态代数为ℚ，则霍奇群为ℚ-单的。关键贡献在于，以罗斯蒂对合下固定子代数的维数为基准，给出了霍奇群中ℚ-单因子数量的上界。

ABSTRACT

This is an English translation of the author's 1981 note in Russian, published in a Yaroslavl collection. We prove that if an Abelian variety over C has no nontrivial endomorphisms, then its Hodge group is Q-simple.

研究动机与目标

• 确定复数域上阿贝尔簇的霍奇群结构与其自同态代数之间的关系。
• 在霍奇群的交换子子群中，建立ℚ-单因子数量的上界。
• 证明当自同态代数为ℚ时，霍奇群为ℚ-单的。
• 阐明罗斯蒂对合与自同态代数中心在限制霍奇群分解中的作用。

提出的方法

• 将霍奇群定义为GL(V)中最小的ℚ-定义代数子群，其实点包含复结构同态φ的像。
• 应用半单群与埃尔米特对称空间的性质，分析霍奇群的实与复结构。
• 利用伽罗瓦群在实半单群G′ℝ的单因子上的作用，计算ℚ-单子群的数量。
• 利用G′ℝ的每个不可约实表示对应于自同态代数在ℝ上的分解中的一个单因子这一事实。
• 通过自同态代数在ℝ上的分解，将固定子代数F₀在罗斯蒂对合下的维数与不可约实表示的数量联系起来。
• 应用萨塔克定理于G′ℝ分解中的非紧致群，以限制伽罗瓦轨道数量，从而限制ℚ-单因子的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，阿贝尔簇的霍奇群为ℚ-单的？
• RQ2 自同态代数的结构，特别是其中心与罗斯蒂对合，如何约束霍奇群的分解？
• RQ3 霍奇群交换子子群中ℚ-单因子的数量与罗斯蒂对合下固定子代数的维数之间有何关系？
• RQ4 伽罗瓦作用在霍奇群的实与复形式上如何影响该群的ℚ-有理结构？
• RQ5 非退化斜对称形式与埃尔米特对称空间在霍奇群的表示论分析中起什么作用？

主要发现

• 若自同态代数End⁰A为ℚ，则霍奇群Hg A为ℚ-单的代数群。
• 霍奇群的交换子子群G′中ℚ-单正规子群的数量r满足r ≤ dimℚ F₀，其中F₀为罗斯蒂对合下的固定子代数。
• G′ℝ的不可约实表示数量等于dimℚ F₀，建立了表示理论与自同态代数之间的直接联系。
• 霍奇群表示在复化后的每个不可约分量均尊重一个非退化斜对称形式，意味着每个因子上具有辛结构。
• 当End⁰A = ℚ时，伽罗瓦群在G′ℂ的单因子上作用传递，此类因子的数量N为奇数。
• 霍奇群为半单群，其实点包含一个极大紧致子群，该子群中心化复结构同态φ的像。