[论文解读] The Hodge theoretic fundamental group and its cohomology

Donu Arapura|ArXiv.org|Feb 24, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文引入了霍奇理论基本群 $\pi_{1}^{\text{hodge}}(X,x)$，定义为复代数簇 $X$ 上可接受的混合霍奇结构变体所对应的局部系统范畴的塔纳卡对偶。通过通用穆尔福-泰特群的作用，该群被赋予一个非交换混合霍奇结构，并证明当对所有此类 $V$，典范映射 $H^*(\pi_{1}^{\text{hodge}}, V) \to H^*(X, V)$ 是同构时，$X$ 是一个霍奇理论 $K(\pi,1)$，此条件在阿贝尔簇和光滑仿射曲线情形下成立。

ABSTRACT

In this paper, we explore a notion of nonabelian Hodge structure on the fundamental group of an algebraic variety. This is approach is compared to some alternative approaches due to Morgan, Hain and others. We also give criteria for a variety to be a Hodge theoretic K(pi,1), which roughly means that the cohomology of variations of mixed Hodge structure can be determined from the group.

研究动机与目标

• 定义一个比基本群的马尔切夫完成更大的霍奇理论类比，以保留更多群论信息。
• 通过通用穆尔福-泰特群的作用，构造该群上的非交换混合霍奇结构。
• 建立上同调比较映射 $H^*(\pi_{1}^{\text{hodge}}, V) \to H^*(X, V)$，并刻画其为同构的条件。
• 将 $K(\pi,1)$ 空间的概念推广到霍奇理论设定中，识别出新的例子，如交换代数群和光滑仿射曲线。

提出的方法

• 将 $\pi_{1}^{\text{hodge}}(X,x)$ 定义为复代数簇 $X$ 上可接受的混合霍奇结构变体所对应的局部系统范畴的塔纳卡对偶。
• 将该群实现为这些变体的单值表示的扎里斯基闭包的逆极限。
• 通过通用穆尔福-泰特群 $MT$ 的作用，赋予 $\pi_{1}^{\text{hodge}}(X,x)$ 一个非交换混合霍奇结构。
• 对任意可接受的变体 $V$，构造一个典范态射 $H^*(\pi_{1}^{\text{hodge}}, V) \to H^*(X, V)$。
• 利用塔纳卡形式理论和上同调归纳法分析比较映射，依赖于海因等人关于相对马尔切夫完成的结果。
• 在猜想性或无条件假设下，证明比较映射在阿贝尔簇和光滑仿射曲线情形下为同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在比马尔切夫完成更大的基本群商上定义霍奇结构，同时保留几何与算术信息？
• RQ2 基本群上的非交换混合霍奇结构的正确推广是什么？它与算术几何中伽罗瓦作用有何关系？
• RQ3 何时对所有可接受的变体 $V$，典范映射 $H^*(\pi_{1}^{\text{hodge}}, V) \to H^*(X, V)$ 是同构？
• RQ4 哪些复代数簇是霍奇理论 $K(\pi,1)$ 空间？此类空间的结构性质是什么？

主要发现

• 霍奇理论基本群 $\pi_{1}^{\text{hodge}}(X,x)$ 定义为复代数簇 $X$ 上可接受的混合霍奇结构变体所对应的局部系统范畴的塔纳卡对偶，且通过通用穆尔福-泰特群的作用，其携带一个非交换混合霍奇结构。
• 群 $\pi_{1}^{\text{hodge}}(X,x)$ 支配马尔切夫完成，且与后者上的霍奇结构相容。
• 对于交换代数群，比较映射 $H^*(\pi_{1}^{\text{hodge}}, V) \to H^*(X, V)$ 是同构，因此此类空间是霍奇理论 $K(\pi,1)$。
• 对于光滑仿射曲线，若假设猜想 5.5 成立，则比较映射为同构，因此在该条件下它们是霍奇理论 $K(\pi,1)$。
• 结果可无条件地推广至阿贝尔簇，证明其为霍奇理论 $K(\pi,1)$。
• 本文推测阿廷邻域也可能为霍奇理论 $K(\pi,1)$，从而提供了一个广泛的示例类。