[论文解读] The homotopy category of N-complexes is a homotopy category

James Gillespie|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文在环 R 上的 N-复形范畴上建立了 Strøm 型模型结构，其中弱等价映射为链同伦等价。利用 Hovey 的余挠对框架，证明了 N-复形的同伦范畴同构于模去同伦的链映射的朴素同伦范畴，推广了经典情形下普通链复形（N=2）的结果。

ABSTRACT

We show that the category of N-complexes has a Str\om model structure, meaning the weak equivalences are the chain homotopy equivalences. This generalizes the analogous result for the category of chain complexes (N = 2). The trivial objects in the model structure are the contractible N-complexes which we necessarily study and derive several results.

研究动机与目标

• 将经典情形下链复形的 Strøm 模型结构（N=2）推广至 N≥2 的 N-复形。
• 在该模型结构中，将可缩 N-复形表征为平凡对象。
• 证明两个链映射同伦当且仅当它们的差可分解为通过一个可缩 N-复形的因子。
• 建立 N-复形的同伦范畴与模去同伦的映射同伦类构成的朴素同伦范畴之间的等价关系。
• 证明该模型结构为 Frobenius 型，即每个 N-复形既是上纤维丛又是下纤维丛。

提出的方法

• 使用 Hovey 的余挠对方法，在 N-复形范畴上构造模型结构。
• 将可缩 N-复形类定义为平凡对象，证明其为 N-圆盘的直和，且在精确范畴 N-Ch(R)_dw 中既是投射又是内射。
• 建立两个完备的余挠对：(A, W) 和 (W, A)，其中 A 为所有 N-复形的类，W 为可缩 N-复形的类。
• 应用 [Gil11] 中的定理 2.6，证明在精确范畴 N-Ch(R)_dw 上存在 Frobenius 型模型结构。
• 利用 Frobenius 模型结构中同伦类与链同伦类一致的性质，以及两个映射同伦当且仅当其差因子通过一个投射-内射对象的结论。
• 借助逐项分裂的正合序列，以及环路与悬垂复形的构造，证明投射与内射对象的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 N-复形范畴上是否存在一种 Strøm 型模型结构，其中弱等价映射为链同伦等价？
• RQ2 可缩 N-复形的精确表征是什么？其与 N-圆盘及投射/内射对象的关系如何？
• RQ3 N-链映射之间的链同伦如何与通过可缩 N-复形的因子分解相关联？
• RQ4 N-复形的同伦范畴是否与模去同伦的映射同伦类构成的朴素同伦范畴等价？
• RQ5 N-复形上的模型结构是否具有 Frobenius 性质，即所有对象是否均为上纤维丛与下纤维丛？

主要发现

• N-复形范畴上存在一种 Strøm 型模型结构，其中弱等价映射由链同伦等价给出。
• 可缩 N-复形被表征为 N-圆盘的直和，且在精确范畴 N-Ch(R)_dw 中既是投射又是内射。
• 两个 N-复形之间的链映射同伦当且仅当它们的差可分解为通过一个可缩 N-复形的因子。
• 该模型结构为 Frobenius 型：每个 N-复形既是上纤维丛又是下纤维丛，且同伦范畴 HoCh(R)_dw 同构于朴素同伦范畴 N-K(R)。
• N-复形的同伦范畴同构于模去同伦的链映射的朴素同伦范畴，推广了 N=2 时的经典结果。
• 该模型结构的存在性源于余挠对 (A, W) 与 (W, A) 的完备性，其中 W 为可缩 N-复形的类。