[论文解读] The homotopy theory of equivariant posets

J. P. May, Marc Stephan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文在 $G$-偏序集中建立了 Quillen 等价的模型结构，表明等变偏序集可以对 $G$-空间的同伦理论进行建模。通过固定点函子将 $G$-集合的轨道范畴上的模型结构转移到 $G$-偏序集上，作者证明了弱等价和纤维化在固定点偏序集上逐级可检测，从而为 $G$-偏序集建立了与 $G$-空间、$G$-范畴及 $G$-单纯集的同伦理论等价的同伦理论。

ABSTRACT

Let $G$ be a discrete group. We prove that the category of $G$-posets admits a model structure that is Quillen equivalent to the standard model structure on $G$-spaces. As is already true nonequivariantly, the three classes of maps defining the model structure are not well understood calculationally. To illustrate, we exhibit some examples of cofibrant and fibrant posets and an example of a non-cofibrant finite poset.

研究动机与目标

• 在 $G$-偏序集范畴上建立一个与 $G$-空间、$G$-范畴及 $G$-单纯集的标准模型结构 Quillen 等价的模型结构。
• 通过轨道范畴将 Raptis 在偏序集上的模型结构以及 Bohmann 等人在 $G$-范畴上的结果推广到等变设置中。
• 证明 $G$-空间的同伦理论可被完全捕捉于 $G$-偏序集的组合框架之内。
• 通过刻画可胞状对象与纤维化对象，澄清 $G$-偏序集的同伦行为，并识别非可胞状的例子。

提出的方法

• 利用 $G$-集合的轨道范畴 $\mathcal{O}_G$，作者在反变函子范畴 $\mathcal{O}_G \to \mathbf{Pos}$ 上定义了逐级模型结构。
• 定义一个固定点图函子 $\Phi: G\mathbf{Pos} \to \mathcal{O}_G\text{-}\mathbf{Pos}$，将每个 $G$-偏序集 $X$ 映射为其所有子群 $H \leq G$ 的固定点偏序集 $X^H$。
• 证明 $\Phi$ 在 $G\mathbf{Pos}$ 上生成了一个紧生成且适当的模型结构，其中弱等价和纤维化通过 $\Phi$ 检测。
• 通过左伴随函子 $\Lambda$（将函子 $Y$ 映射为 $Y(G/e)$）在 $G\mathbf{Pos}$ 与 $\mathcal{O}_G\text{-}\mathbf{Pos}$ 之间建立 Quillen 伴随，并证明其为 Quillen 等价。
• 利用函子性分解以及偏序集中对拉回与上推的性质，分析可胞状与纤维化对象，特别是在连通分支中的情形。
• 应用关于部分模型结构的一个命题的逆向部分，证明包含极大态射的连通纤维化偏序集是同伦等价的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 Quillen 等价的模型结构，将 $G$-空间的同伦理论完全捕捉于 $G$-偏序集范畴中？
• RQ2 可胞状与纤维化 $G$-偏序集的行为如何？它们在固定点数据方面有何特征？
• RQ3 是否存在一个自然的 $G$-偏序集模型结构，它源自轨道范畴，并推广非等变偏序集与 $G$-范畴中的已知结果？
• RQ4 在何种条件下，一个 $G$-偏序集是同伦等价的，特别是与其分量中极大态射的关系如何？
• RQ5 是否存在有限的非可胞状 $G$-偏序集？它们在何种意义上不满足可胞状性条件？

主要发现

• $G$-偏序集范畴 $G\mathbf{Pos}$ 具有一个紧生成且适当的模型结构，该结构与 $G\mathbf{Top}$、$G\mathbf{Cat}$ 和 $G\mathbf{sSet}$ 的标准模型结构 Quillen 等价。
• 一个 $G$-偏序集之间的映射是弱等价或纤维化，当且仅当其在固定点函子 $\Phi$ 下的像在 $\mathcal{O}_G\text{-}\mathbf{Pos}$ 中是弱等价或纤维化。
• $G\mathbf{Pos}$ 与 $\mathcal{O}_G\text{-}\mathbf{Pos}$ 之间的伴随 $(\Lambda, \Phi)$ 是 Quillen 等价，从而确立了其同伦等价性。
• 包含极大态射的连通纤维化 $G$-偏序集是同伦等价的，该结论通过其分量中存在上推与拉回得到证明。
• 文中给出一个非可胞状有限 $G$-偏序集的例子，表明即使在有限等变偏序集情形下，可胞状性也并非自动成立。
• 在 Bohmann 等人关于 $G$-范畴的工作中，$G\mathbf{Pos}$ 的模型结构隐含存在，且该构造推广了 Raptis 在非等变偏序集上的结果。