[论文解读] The Hopf-Tsuji-Sullivan dichotomy for Anosov groups in low and high rank

Marc Burger, Or Landesberg+2 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文建立了半单实代数群的正规 Zariski 稠密离散子群的 Hopf-Tsuji-Sullivan 型二分法，证明当且仅当群的秩至多为 3 时，局部 Poincaré 级数在极限锥的所有内部方向上发散。这表明 Burger-Roblin 测度恰好在 rank G ≤ 3 时被支撑在 v-方向递归集上。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected semisimple real algebraic group. We establish an analogue of the Hopf-Tsuji-Sullivan dichotomy for any regular Zariski dense discrete subgroup of $G$. We deduce the following surprising consequence for $\Gamma$ Anosov: the localized Poincare series diverges for each interior direction $v$ of the limit cone of $\Gamma$ if and only if $\operatorname{rank} G\le 3$. This result implies that the Burger-Roblin measure $m^{\operatorname{BR}}_{v}$ on $\Gamma\backslash G$ is supported on the $v$-directional recurrent set if and only if $\operatorname{rank} G\le 3$.

研究动机与目标

• 将 Hopf-Tsuji-Sullivan 二分法推广至半单实代数群的正规 Zariski 稠密离散子群。
• 确定局部 Poincaré 级数在极限锥内部方向上发散的条件。
• 刻画 Burger-Roblin 测度被支撑在 v-方向递归集上的情形。
• 阐明群的秩在 Anosov 子群及其相关测度的动力学中的作用。

提出的方法

• 利用极限锥的几何与动力学性质分析局部 Poincaré 级数的发散性。
• 运用极限锥的结构以及 Anosov 子群在旗流形上的作用。
• 应用齐性动力系统与 Anosov 表示理论的技术。
• 将 Burger-Roblin 测度作为关键工具，关联测度论性质与动力学性质。
• 通过比较级数收敛性与测度支撑性，建立依赖于秩的二分法。
• 利用 Zariski 稠密性与正则性条件控制轨道增长的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在极限锥的每个内部方向上，局部 Poincaré 级数在何种条件下发散？
• RQ2 半单群 G 的秩如何影响 v-方向动力学的递归性质？
• RQ3 Burger-Roblin 测度在何时被支撑在 v-方向递归集上？
• RQ4 Poincaré 级数的发散性与 G 的秩之间存在何种精确关系？
• RQ5 Hopf-Tsuji-Sullivan 二分法如何推广至高秩情形下的 Anosov 子群？

主要发现

• 当且仅当 G 的秩至多为 3 时，局部 Poincaré 级数在极限锥的每个内部方向 v 上发散。
• 对于 Anosov 子群，级数的发散性等价于 Burger-Roblin 测度被支撑在 v-方向递归集上。
• 当 rank G > 3 时，局部 Poincaré 级数在某些内部方向上收敛，表明在秩 3 处存在一个尖锐的相变。
• 该结果揭示了半单群中 Anosov 子群动力学中根本性的秩依赖型二分法。
• Burger-Roblin 测度恰好在 rank G ≤ 3 时被支撑在 v-方向递归集上。
• 这在 Anosov 群的遍历理论中确立了一种新的秩敏感行为，区分了低秩与高秩情形。