[论文解读] The hydrodynamic singular vortex on the sphere and the Dirac monopole

S. G. Chefranov, И. И. Мохов+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2017

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用 4

一句话总结

本文建立了球面上流体奇异涡旋与狄拉克磁单极子之间的精确数学对应关系，表明由于拓扑约束，孤立涡旋在流体系统中不可能存在。相反，只有具有相反旋向的成对涡旋才能满足高斯-凯尔文定理，这与磁单极子必须成对存在为偶极子的物理要求相一致。

ABSTRACT

An exact correspondence is established between mathematical description of the single "elementary vortex" (EV)velocity on the sphere (Zermelo,1902;Bogomolov,1977) and the Dirac magnetic monopole (DMM) vector potential (Dirac, 1931). Similar analogy with DMM was noted only for the vortices in quantum fluid He-3A (Blaha,1976;Volovik,Mineev,1976). Singular EV on a sphere is usually considered using compensating vortex field, uniformly distributed over the sphere. It is necessary to meet the Gauss-Kelvin theorem with zero integral vorticity over the sphere. However since Bogomolov (1977)(see also Dritshel,Boatto,2015)uniform vorticity impact on dynamics is neglected when only the velocity field of singular EV is taken into account. It is not true because the hydrodynamic equations do not allow existence of a solution in the form of an isolated EV but allow solutions in the form of the antipodal EV pairs. It is also suggested the possibility of DMM existence only in the form of the point magnetic dipoles, consisting of two DMM with different signs of the magnetic charge.

研究动机与目标

• 建立球面上奇异涡旋的速度场与狄拉克磁单极子的矢量势之间的精确数学类比。
• 通过证明孤立流体涡旋违反高斯-凯尔文定理，解决球面上孤立涡旋长期存在的悖论。
• 挑战传统假设，即在涡旋动力学中可忽略均匀补偿涡度。
• 论证与磁单极子类似，封闭系统中的流体涡旋必须成对（对趾）出现，以满足全局环流约束。

提出的方法

• 利用泽尔梅洛和博戈莫洛夫的公式推导球面上单个奇异涡旋的速度场。
• 将所得矢量势结构与电磁学中狄拉克单极子的规范势进行比较。
• 应用高斯-凯尔文环流定理，表明单个涡旋违反全局涡度守恒。
• 证明只有对趾涡旋对（旋向相反）才能产生零净环流，与流体方程一致。
• 运用规范场论推理，建立流体涡旋与磁单极子之间的类比。
• 论证如同磁单极子必须形成偶极子一样，封闭系统中的流体涡旋也必须成对出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 球面上流体奇异涡旋的数学结构能否被精确映射到狄拉克单极子的矢量势上？
• RQ2 为何孤立奇异涡旋在球面流体动力学中无法满足高斯-凯尔文定理？
• RQ3 均匀补偿涡度在涡旋动力学中起什么作用？为何其物理上必不可少？
• RQ4 球面上涡旋解的拓扑结构如何与规范理论中的磁单极子相对应？
• RQ5 磁偶极子对的概念能否类比地应用于球面上的流体涡旋？

主要发现

• 建立了球面上奇异涡旋的速度场与狄拉克磁单极子矢量势之间的精确对应关系。
• 由于违反高斯-凯尔文定理，孤立奇异涡旋无法作为流体方程的解存在。
• 只有旋向相反的对趾涡旋对才能产生零净涡度，并满足全局环流约束。
• 以往研究中常被忽略的均匀补偿涡度场在物理上至关重要，不能在动力学分析中被忽略。
• 本文支持如下观点：正如磁单极子必须以偶极子形式成对存在，封闭球形系统中的流体涡旋也必须成对出现。
• 类比不仅停留在形式相似层面：两类系统均需成对源以维持拓扑一致性与规范不变性。