[论文解读] The hyperbolic Voronoi diagram in arbitrary dimension

Frank Nielsen, Richard Nock|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，利用贝尔特拉米半球模型在任意维度下计算双曲 Voronoi 图，实现了仅使用有理数算术的精确计算。证明了在该模型下双曲 Voronoi 图是仿射的，从而可通过标准幂图高效计算，无需昂贵的开方运算，克服了克萊因模型因距离计算中需开方而必须使用代数数算术的局限性。

ABSTRACT

We show that in the Klein projective ball model of hyperbolic space, the hyperbolic Voronoi diagram is affine and amounts to clip a corresponding power diagram, requiring however algebraic arithmetic. By considering the lesser-known Beltrami hemisphere model of hyperbolic geometry, we overcome the arithmetic limitations of Klein construction. Finally, we characterize the bisectors and geodesics in the other Poincar\' e upper half-space, the Poincaré ball, and the Lorentz hyperboloid models, and discusses on degenerate cases for which the dual hyperbolic Delaunay complex is not a triangulation.

研究动机与目标

• 为克服克萊因球模型的计算局限性，该模型因距离计算中的开方运算而需要非有理数算术。
• 开发一种仅使用有理数算术在任意维度下计算双曲 Voronoi 图的方法。
• 建立固定行列式的对称正定矩阵与双曲几何（特别是二维情形）之间的联系。
• 对双曲几何的五种标准模型（庞加莱、克萊因、贝尔特拉米、洛伦兹、上半空间）中的平分线和前测地线进行表征。
• 分析对偶 Delaunay 复形在双曲空间中无法构成单纯剖分的退化情形。

提出的方法

• 使用贝尔特拉米半球模型表示双曲空间，使得双曲 Voronoi 图可在 (d+1) 维坐标中仅通过有理数算术计算为仿射图。
• 该方法利用了在半球模型中双曲 Voronoi 图等价于嵌入欧氏空间中的截断幂图的性质。
• 对五种标准模型（庞加莱上半空间、庞加莱球、克萊因球、洛伦兹双曲面、贝尔特拉米半球）中的测地线和平分线进行了分析推导。
• 论文利用莫比乌斯变换和等距变换关联不同模型，以简化几何计算。
• 对于行列式固定的 2×2 对称正定矩阵，证明其空间与双曲平面等距，从而可通过双曲模型实现几何解释。
• 该构造通过在半球模型中使用有理参数化避免了开方运算，而克萊因模型则需使用代数运算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅使用有理数算术在任意维度下计算双曲 Voronoi 图，从而避免昂贵的开方运算？
• RQ2 双曲几何五种标准模型中的平分线与测地线如何相互关联，又如何与 Voronoi 结构关联？
• RQ3 固定行列式的对称正定矩阵空间与二维双曲几何之间存在何种关系？
• RQ4 在何种条件下，双曲空间中对偶 Delaunay 复形无法构成单纯剖分？
• RQ5 能否重新表述克萊因模型中的 Voronoi 图，以避免使用非有理数算术？

主要发现

• 贝尔特拉米半球模型中的双曲 Voronoi 图是仿射的，可在 (d+1) 维坐标中仅通过有理数算术计算为截断幂图。
• 该方法克服了克萊因模型的算术局限性，后者因距离计算中的开方而必须使用非有理数运算。
• d 维双曲空间中双曲 Voronoi 图的复杂度为 Θ(n^⌈d/2⌉)，与庞加莱上半空间模型中的先前结果一致。
• 行列式固定的 2×2 对称正定矩阵空间与双曲平面等距，双曲距离可通过庞加莱、克萊因或洛伦兹模型以有理表达式计算。
• 存在退化情形，其中对偶 Delaunay 复形不是单纯剖分，尤其当点位于高维空间中的共同 k-平面或 k-球面上时。
• 本文为双曲几何五种标准模型（包括较少用于计算几何的贝尔特拉米半球模型）提供了测地线与平分线的显式公式。