[论文解读] The Hypervolume Indicator: Problems and Algorithms
这项综述回顾与超体积相关的计算问题、它们之间的关系，以及在多目标优化的固定维度下实现的最快算法。
The hypervolume indicator is one of the most used set-quality indicators for the assessment of stochastic multiobjective optimizers, as well as for selection in evolutionary multiobjective optimization algorithms. Its theoretical properties justify its wide acceptance, particularly the strict monotonicity with respect to set dominance which is still unique of hypervolume-based indicators. This paper discusses the computation of hypervolume-related problems, highlighting the relations between them, providing an overview of the paradigms and techniques used, a description of the main algorithms for each problem, and a rundown of the fastest algorithms regarding asymptotic complexity and runtime. By providing a complete overview of the computational problems associated to the hypervolume indicator, this paper serves as the starting point for the development of new algorithms, and supports users in the identification of the most appropriate implementations available for each problem.
研究动机与目标
- 对与超体积相关的计算问题及其相互关系给出广泛的概述。
- 总结每个问题的主要算法并比较它们的渐近复杂度和运行时性能。
- 确定最快的可用实现并就选择合适的方法提供指导。
- 强调问题结构对算法设计的影响并讨论数值稳定性。
- 推广在基于超体积的优化中的基准测试和算法开发的最佳实践。
提出的方法
- 定义超体积及相关量（超体积、贡献、联合贡献）并形式化一组问题（Problems 1–10）。
- 解释问题之间的关系以及问题之间的约简，以利用现有算法。
- 回顾用于求解超体积问题的最先进范式与技术（如包含-排除、维度扫描等）。
- 提供每个问题的最快算法摘要，重点关注渐近和实际运行时性能。
- 讨论基于子模性和贪心方法的 HSSP 的近似保证。
- 就可用实现及数值稳定性的实际注意事项提供指导。
实验结果
研究问题
- RQ1在不同维度下，超体积相关问题（如 Hypervolume、AllContributions、HSSP）的确切定义和关系是什么？
- RQ2每个与超体积相关的问题已知的最快算法（精确和近似）是什么，它们在实践中的比较如何？
- RQ3如何将超体积问题相互化简以利用高效解法？
- RQ4哪些理论性质（如单调性、子模性）能够为 HSSP 提供近似保证？
- RQ5可以为从业者提供哪些关于实现和超体积计算中的数值稳定性的指导？
主要发现
- 超体积是一种广泛使用的集合质量指示器，具有强单调性和尺度不变性。
- 存在紧密的计算联系使得可以通过化简解决多个问题。
- 许多问题在一般情况下是 #P-hard 或 NP-hard，但固定维度的情形使得可实现高效算法。
- HSSP 从子模性中受益，使贪心方法获得 (1−1/e) 的近似保证。
- 存在一套具有不同渐近和实际性能的算法，本文就最快可用的选项和实现提供了指导。
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