[论文解读] The image of a tropical linear space

Joshua Mundinger|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文引入了热带图像（tropical image），这是一种新的热带线性空间，它包含了在一线性映射下热带线性空间的集合论像。通过利用热带变形和拟阵结构构造热带图像，作者们推广了Stiefel热带线性空间，并为所有热带线性空间对（即使不具有不相交基）定义了稳定和，从而为此前受限的构造提供了代数框架。

ABSTRACT

Given a tropical linear space $L \subseteq \mathbb{T}^n$ and a matrix $A \in \mathbb{T}^{m imes n}$, the image $AL$ of $L$ under $A$ is typically not a tropical linear space. We introduce a tropical linear space $\mathrm{tropim}_A(L)$, the tropical image, containing $AL$. We show under mild hypotheses that $\mathrm{tropim}_A(L)$ is realizable if $L$ is and apply the tropical image to construct the stable sum of two tropical linear spaces without a disjoint pair of bases.

研究动机与目标

• 为解决热带线性空间在一线性映射下的像通常不是热带代数簇的问题。
• 构造一个称为热带图像的热带线性空间，使其包含集合论像并保持拟阵与代数结构。
• 将热带线性空间稳定和的定义扩展至不具有不相交基对的任意两对热带线性空间。
• 利用热带普吕克坐标与子式，对热带线性映射提供代数与拟阵理论的处理方法。
• 通过单一框架统一并推广热带几何中现有构造，如Stiefel空间与稳定和。

提出的方法

• 将热带图像 $\mathrm{tropim}_A(L)$ 定义为由矩阵 $A$ 作用于 $L$ 的像所生成的热带线性空间，使用来自 $A$ 的子式与 $L$ 的坐标导出的热带普吕克坐标。
• 通过线性映射的热带图构造热带图像，证明其与迭代热带变形一致。
• 利用 $A$ 的底层二部图，从 $L$ 的拟阵结构诱导出热带图像的拟阵结构，确保与拟阵并集理论相容。
• 证明若 $L$ 可实现，则 $\mathrm{tropim}_A(L)$ 在域上也可实现，即其等于相应经典线性空间在 $A$ 作用下像的热带化。
• 将热带图像构造应用于加法映射 $A_+ = [I\; I]$，证明 $\mathrm{tropim}_{A_+}(L_w \oplus L_z)$ 产生稳定和 $L_w +_{st} L_z$，即使 $w \wedge z = 0$ 也成立。
• 利用稳定和与稳定交的对偶性，通过热带图像框架证明 $\mathrm{trop}(\Lambda_1) \cap_{st} \mathrm{trop}(\Lambda_2) = \mathrm{trop}(\Lambda_1 \cap \gamma \Lambda_2)$ 对通用 $\gamma$ 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当集合论像本身不是热带代数簇时，能否将热带线性空间在一线性映射下的像扩展为一个热带代数簇？
• RQ2 当两个热带线性空间缺乏不相交基对时，如何定义其稳定和？
• RQ3 线性映射作用于热带线性空间的热带图像的代数与拟阵结构是什么？
• RQ4 热带图像构造与经典热带化及在赋值域上的可实现性有何关系？
• RQ5 热带图像框架能否统一并推广现有构造，如Stiefel热带线性空间与稳定和？

主要发现

• 在温和假设下，热带图像 $\mathrm{tropim}_A(L)$ 包含集合论像 $AL$，且为一个热带线性空间。
• $\mathrm{tropim}_A(L)$ 的秩至多等于 $L$ 的秩，其底层拟阵由 $A$ 的二部图诱导。
• 若 $A$ 存在非零的最大子式，则 $\mathrm{tropim}_A(S^E)$ 即为与 $A^T$ 关联的Stiefel热带线性空间，从而将该构造推广至所有矩阵。
• 当 $L = \mathrm{trop}(\Lambda)$ 在足够大的域上可实现时，$\mathrm{tropim}_A(L)$ 也可实现，且等于 $\Lambda$ 在 $A$ 作用下像的热带化。
• 稳定和 $L_w +_{st} L_z$ 定义为 $\mathrm{tropim}_{A_+}(L_w \oplus L_z)$，其中 $A_+ = [I\; I]$，即使 $w \wedge z = 0$ 也成立，从而将稳定和推广至所有热带线性空间对。
• 对于 $\kappa\{t^S\}^E$ 中的横截子空间 $\Lambda_1, \Lambda_2$，稳定交满足 $\mathrm{trop}(\Lambda_1) \cap_{st} \mathrm{trop}(\Lambda_2) = \mathrm{trop}(\Lambda_1 \cap \gamma \Lambda_2)$ 对通用 $\gamma$ 成立，从而为一个已知结果提供了代数证明。