[论文解读] The Inapproximability of Maximum Single-Sink Unsplittable, Priority and Confluent Flow Problems

F. Bruce Shepherd, Adrian Vetta|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文建立了最大单汇无拆分流、优先级流和汇聚流问题的强不可近似性结果，证明了即使在无向图中，任何多项式时间算法也无法实现优于 $ O(\text{polylog}(n)) $ 的近似比，对于汇聚流问题亦然。此外，本文还表明，无向单汇无拆分流问题的不可近似性下界为 $ O(m^{1/2 - \epsilon}) $，且该下界在需求与容量比有界时依然成立；同时，本文通过贪心算法为无拆分流和优先级流问题提供了匹配的上界。

ABSTRACT

We consider single-sink network flow problems. An instance consists of a capacitated graph (directed or undirected), a sink node $t$ and a set of demands that we want to send to the sink. Here demand $i$ is located at a node $s_i$ and requests an amount $d_i$ of flow capacity in order to route successfully. Two standard objectives are to maximise (i) the number of demands (cardinality) and (ii) the total demand (throughput) that can be routed subject to the capacity constraints. Furthermore, we examine these maximisation problems for three specialised types of network flow: unsplittable, confluent and priority flows. In the {\em unsplittable flow} problem (UFP), we have edge capacities, and the demand for $s_i$ must be routed on a single path. In the {\em confluent flow} problem, we have node capacities, and the final flow must induce a tree. Both of these problems have been studied extensively, primarily in the single-sink setting. However, most of this work imposed the {\em no-bottleneck assumption} (that the maximum demand $d_{max}$ is at most the minimum capacity $u_{min}$). Given the no-bottleneck assumption (NBA), there is a factor $4.43$-approximation algorithm due to Dinitz et al. for the unsplittable flow problem. Under the stronger assumption of uniform capacities, there is a factor $3$-approximation algorithm due to Chen et al. for the confluent flow problem. However, unlike the UFP, we show that a constant factor approximation algorithm cannot be obtained for the single-sink confluent flows even {\bf with} the NBA. Without NBA, we show that maximum cardinality single-sink UFP is hard to approximate to within a factor $n^{.5-ε}$ even when all demands lie in a small interval $[1,1+Δ]$ where $Δ>0$ (but has polynomial input size). This is very sharp since when $Δ=0$, this becomes a maximum flow problem.

研究动机与目标

• 在容量受限网络中，为最大单汇无拆分流、优先级流和汇聚流问题建立紧致的不可近似性界。
• 弥合这些流问题中已知上界与下界之间的差距，尤其是在无瓶颈假设缺失的情况下。
• 在现实约束条件下（如需求与容量比有界、需求范围较小）分析近似难度。
• 设计并分析贪心算法，使其近似性能几乎匹配已建立的不可近似性下界。

提出的方法

• 通过从一个已知的难解问题归约，证明了在无向图中，单汇汇聚流问题的不可近似性下界为 $ O(\log^{1-\epsilon} n) $，该结果对基数目标和吞吐量目标均成立。
• 将 Azar 和 Regev 的 $ \Omega(m^{1-\epsilon}) $-难解性结果从有向图扩展至无向图，包括平面网络，适用于基数无拆分流问题。
• 证明了即使所有需求和容量均位于一个较小范围 $[1, 1+\Delta]$ 内（对任意 $ \Delta > 0 $），无拆分流的不可近似性结果依然成立，从而消除了对指数级大需求的依赖。
• 引入了优先级流模型，作为无拆分流与汇聚流设置之间的连续过渡，通过在边上设置优先级等级和需求来参数化该模型。
• 提出了一种贪心算法，可实现对优先级流问题的 $ O(\min\{k, \sqrt{m}\}) $-近似，其中 $ k $ 为优先级类别的数量。
• 使用阻塞路径论证和切比雪夫求和不等式，将未满足的最优需求数量以贪心路径的数量及其长度进行有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无瓶颈假设下，是否可以为单汇汇聚流问题设计常数因子近似算法？
• RQ2 在无瓶颈假设不成立的情况下，无向图中单汇无拆分流问题是否不可近似至 $ O(\text{polylog}(n)) $？
• RQ3 无拆分流的不可近似性是否可推广至需求与容量比有界的实例？
• RQ4 优先级流问题的紧致近似比是多少？其与边和需求优先级结构的关系如何？
• RQ5 能否弥合无拆分流问题中上界与下界之间的差距，特别是 $ \sqrt{n} $ 与 $ \sqrt{m} $ 之间的差距？

主要发现

• 单汇汇聚流问题对任意 $ \epsilon > 0 $ 均不可近似至 $ O(\log^{1-\epsilon} n) $ 以内，即使在无向图中，对基数目标和吞吐量目标均成立。
• 无向单汇无拆分流问题对任意 $ \epsilon > 0 $ 均不可近似至 $ O(m^{1/2 - \epsilon}) $ 以内，这是首个针对无向图的超常数不可近似性结果。
• 无拆分流的不可近似性结果在所有需求和容量均位于小范围 $[1, 1+\Delta]$ 内（对任意 $ \Delta > 0 $）时依然成立，从而消除了对指数级大需求的依赖。
• 无拆分流的吞吐量目标同样不可近似至 $ O(m^{1/2 - \epsilon}) $ 以内，即使在需求比有界时也成立。
• 一种贪心算法可实现对最大优先级流问题的 $ O(\min\{k, \sqrt{m}\}) $-近似，其性能与不可近似性下界仅相差常数因子。
• 无拆分流和优先级流的上界 $ O(\sqrt{m}) $-近似几乎紧致，因为其不可近似性下界为 $ \Omega(m^{1/2 - \epsilon}) $，且该界在一般多路流情况下也成立。