[论文解读] The incompressible navier-stokes equations in vacuum

Raphaël Danchin, Piotr B. Mucha|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用 6

一句话总结

该论文在仅要求初始速度属于 $H^1$ 且初始密度有界非负、无需密度正下界或相容性条件的前提下，建立了真空中外压不可压缩纳维-斯托克斯方程解的全局存在性与唯一性。关键贡献在于：在二维情形下对一般数据证明了唯一全局解；在三维情形下，当初始速度满足尺度不变的小量条件时，也证明了唯一全局解，从而解决了关于粘性流体液滴在真空中演化的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

We are concerned with the existence and uniqueness issue for the inhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations supplemented with H^1 initial velocity and only bounded nonnegative density. In contrast with all the previous works on that topics, we do not require regularity or positive lower bound for the initial density, or compatibility conditions for the initial velocity, and still obtain unique solutions. Those solutions are global in the two-dimensional case for general data, and in the three-dimensional case if the velocity satisfies a suitable scaling invariant smallness condition. As a straightforward application, we provide a complete answer to Lions' question in [25], page 34, concerning the evolution of a drop of incompressible viscous fluid in the vacuum.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的公开问题：在不假设初始密度为正或满足相容性条件的前提下，粘性不可压缩流体液滴是否能在真空中唯一演化。
• 将非齐次不可压缩纳维-斯托克斯方程的存在性与唯一性理论扩展至经典假设之外的范围，即不依赖于正密度和光滑初始数据。
• 完整回答利昂斯（Lions, 2006, p.34）关于不可压缩粘性流体液滴在真空中演化的提问。
• 在初始速度属于 $H^1$ 且有界非负密度的临界正则性空间中建立适定性，即使密度不连续或为零亦成立。

提出的方法

• 建立非齐次不可压缩纳维-斯托克斯系统，初始密度 $\rho_0 \in L^\infty$，$\rho_0 \geq 0$，初始速度 $v_0 \in H^1_0(\Omega)$，且不对 $\rho_0$ 设下界。
• 在精心选择的函数空间 $X_T$ 中使用不动点论证，该空间包含 $L^4(0,T;L^2)$、$L^2(0,T;H^1_0)$ 和 $L^{4/3}(0,T;L^{3/2})$（用于时间导数）。
• 应用具有时变系数的斯托克斯算子的最大正则性估计，利用奇异积分理论及散度算子的 $L^p$ 有界性。
• 通过构造一个逼近单位阵的时间依赖矩阵 $A(t,x)$，并利用 Banach 不动点定理在空间 $X_T$ 中证明解的存在性与唯一性。
• 在最小假设下建立能量估计与守恒律（质量、动量、能量），依赖于连续性方程的重正则化技术。
• 改编 [7] 和 [25] 中关于重正则解与最大正则性的结果，以处理密度与速度正则性不足的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始密度仅为有界且非负、无正下界时，不可压缩纳维-斯托克斯方程在真空中的唯一全局解是否存在？
• RQ2 是否可能在不假设初始速度与密度之间相容性条件的前提下，证明解的存在性与唯一性？
• RQ3 在三维情形下，若密度不远离零，经典初始速度小量条件是否仍能保证全局存在性？
• RQ4 在对初始数据正则性要求最低的条件下，真空中的粘性流体液滴演化是否可被唯一描述？
• RQ5 为确保非齐次不可压缩纳维-斯托克斯方程的适定性，初始速度与密度的最小正则性要求是什么？

主要发现

• 在二维情形下，对于任意满足 $v_0 \in H^1_0(\Omega)$ 且 $\rho_0 \in L^\infty(\Omega)$，$\rho_0 \geq 0$ 的初始数据，非齐次不可压缩纳维-斯托克斯方程存在全局唯一解，无需 $\inf \rho_0 > 0$。
• 在三维情形下，若初始速度满足尺度不变的小量条件 $\mu^{-2}\|v_0\|_{L^2}\|\nabla v_0\|_{L^2} \ll 1$，即使 $\rho_0$ 仅是有界且非负，也存在唯一全局解。
• 解保持总质量和能量守恒，满足 $\|\sqrt{\rho(t)}v(t)\|_{L^2}^2 + 2\mu\int_0^T \|\nabla v\|_{L^2}^2 \, dt \leq \|\sqrt{\rho_0}v_0\|_{L^2}^2$。
• 密度保持有界，其 $L^\infty$ 范数守恒：$\operatorname{ess\,inf}_x \rho(t,x) = \operatorname{ess\,inf}_x \rho_0(x)$ 且 $\operatorname{ess\,sup}_x \rho(t,x) = \operatorname{ess\,sup}_x \rho_0(x)$。
• 在小量条件下，解在空间 $X_T = L^2(0,T;H^1_0) \cap L^4(0,T;L^2)$ 中唯一，且时间导数属于 $L^{4/3}(0,T;L^{3/2})$。
• 本文完整回答了利昂斯（2006, p.34）关于真空中原粘性流体液滴演化的提问，证实了在最小假设下唯一全局解的存在性。