[论文解读] The independent set sequence of some families of trees

David Galvin, Justin Hilyard|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文建立了若干递归定义的树族的独立集序列的单峰性，包括在路径上周期性附加辅助树的树族以及通过附加大量悬挂边形成的毛虫树。作者利用生成函数和对数凹多项式性质，证明了只要在任一顶点或每个顶点上添加足够多的悬挂边，独立集序列即为单峰，从而解决了非爪-free树族的单峰性问题，并推进了图论中自1987年以来长期悬而未决的开放问题：是否所有树的独立集序列均为单峰。

ABSTRACT

For a tree $T$, let $i_T(t)$ be the number of independent sets of size $t$ in $T$. It is an open question, raised by Alavi, Malde, Schwenk and Erdős, whether the sequence $(i_T(t))_{t \geq 0}$ is always unimodal. Here we answer the question in the affirmative for some recursively defined families of trees, specifically paths with auxiliary trees dropped from the vertices in a periodic manner. In particular, extending a result of Wang and B.-X. Zhu, we show unimodality of the independent set sequence of a path on $2n$ vertices with $\ell_1$ and $\ell_2$ pendant edges dropped alternately from the vertices of the path, $\ell_1, \ell_2$ arbitrary. We also show that the independent set sequence of any tree becomes unimodal if sufficiently many pendant edges are dropped from any single vertex, or if $k$ pendant edges are dropped from every vertex, for sufficiently large $k$. This in particular implies the unimodality of the independent set sequence of some non-periodic caterpillars.

研究动机与目标

• 探究所有树的独立集序列是否单峰，这是Alavi等人于1987年提出的长期悬而未决的问题。
• 将已知的单峰性结果从爪-free图和完美覆盖树扩展到更广泛的递归构造树族。
• 确定独立集序列变为单峰的条件，特别是通过添加悬挂边实现。
• 探索某些递归定义的树族（如Fibonacci树）是否具有实根性质，该性质可推出单峰性。
• 通过生成函数和系数分析，为特定树构造提供单峰性的构造性证明。

提出的方法

• 分析独立多项式 $ p(G,x) = \sum_{t \geq 0} i_G(t) x^t $，重点关注树的系数序列。
• 应用对数凹（LC+）和单峰序列的概念，利用实根多项式为LC+且因此单峰的性质。
• 使用 $ n $-连接构造：通过类似路径的连接方式将 $ n $ 个基图 $ G $ 的副本与一个指定顶点连接。
• 通过二项式系数 $ \binom{n}{k} $ 的渐近分析，证明当 $ n $ 足够大时，$ g(x)(1+x)^n $ 的单峰性，其中 $ g(x) $ 是具有正系数的多项式。
• 应用LC+多项式在乘法和加法下的封闭性质，以在组合生成函数时保持单峰性。
• 通过证明当 $ k $ 足够大时，每个顶点添加 $ k $ 个悬挂边后，$ p(G_k, x) $ 为LC+多项式，从而建立其单峰性。

实验结果

研究问题

• RQ1 独立集序列是否对所有树均保持单峰，如Alavi等人于1987年所猜想？
• RQ2 能否在路径上周期性附加辅助树形成的树族中建立单峰性？
• RQ3 在何种条件下向树中添加悬挂边可确保其独立集序列的单峰性？
• RQ4 递归定义的树（如Fibonacci树）是否具有实根性质，从而推出单峰性？
• RQ5 所有毛虫树（尤其是非周期性毛虫树）的独立集序列是否均为单峰？

主要发现

• 对于在顶点上交替附加 $ \ell_1 $ 和 $ \ell_2 $ 个悬挂边的路径，其中任意 $ \ell_1, \ell_2 \geq 1 $，其独立集序列为单峰，该结果推广了Wang与B.-X. Zhu的先前结果。
• 在树的任一顶点上附加足够多的悬挂边，可使其独立集序列为单峰。
• 在树的每个顶点上添加 $ k $ 个悬挂边，当 $ k $ 足够大时，其独立集序列为单峰，从而证明了某些非周期性毛虫树的单峰性。
• 以中心为指定顶点的 $ K_{1,k} $ 的 $ n $-连接的独立多项式对所有 $ k \geq 1 $ 均为单峰，推广了早期结果。
• Fibonacci树 $ F_n $ 的独立多项式对所有 $ n $ 均具有实根性质，从而推出单峰性，证实了早期草案中的一个猜想。