[论文解读] The Index Bundle for a Family of Dirac-Ramond Operators

Christopher L Harris|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文研究了紧致自旋流形族上狄拉克-拉蒙算符的指标丛，将其视为形式幂级数 $ q $ 系数的扭曲狄拉克算符的 formally sum。利用陈示性类的模形式性质与雅可比型形式，作者在 $ K(X)[[q]] $ 中推导出指标丛的显式公式，并在八维弦流形且第一庞特里亚金类为零的情况下，将其识别为 $ L(E_8) $-丛。

ABSTRACT

We study the index bundle of the Dirac-Ramond operator associated with a family $π: Z o X$ of compact spin manifolds. We view this operator as the formal twisted Dirac operator $\dd \otimes \bigotimes_{n=1}^{\infty}S_{q^n}TM_{\C}$ so that its index bundle is an element of $K(X)[[q]]$. When $p_1 (Z) = 0$, we derive some explicit formulas for the Chern character of this index bundle using its modular properties. We also use the modularity to identify our index bundle with an $L(E_8)$ bundle in a special case.

研究动机与目标

• 在紧致自旋流形族的背景下，定义并研究狄拉克-拉蒙算符的指标丛。
• 将指标丛表示为 $ K(X)[[q]] $ 中扭曲狄拉克算符指标的形式和。
• 利用模不变性与雅可比型形式，推导指标丛的显式陈示性类公式。
• 在八维弦流形且 $ p_1(Z) = 0 $ 的情况下，将指标丛识别为 $ L(E_8) $-丛。

提出的方法

• 将狄拉克-拉蒙算符视为形式扭曲狄拉克算符 $ \not{\partial} \otimes \bigotimes_{n=1}^\infty S_{q^n} TM_\mathbb{C} $，从而在 $ K(X)[[q]] $ 中得到指标。
• 利用同调族指标定理，通过 $ \widehat{A} $-亏格与陈示性类将指标与特征类关联。
• 应用埃斯泰因系列 $ E_2, E_4, E_6 $ 与雅可比型形式的模性质，推导指标丛陈示性类的显式表达式。
• 利用牛顿恒等式将陈根的幂和表示为庞特里亚金类，从而实现 $ \operatorname{ch}(W_n) $ 的计算。
• 利用生成函数 $ \sum_{n=0}^\infty q^n W_n = \bigotimes_{j=1}^\infty S_{q^j} W_\mathbb{C} $ 定义形式丛系数。
• 通过比较 $ p_1(Z) = 0 $ 下的指标分量，验证其与已知反常抵消公式的自洽性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地用 $ q $-进系数的 $ K $-理论描述自旋流形族上狄拉克-拉蒙算符指标丛？
• RQ2 指标丛的陈示性类受何种模性质支配，这些性质如何用于推导显式公式？
• RQ3 在何种情况下，狄拉克-拉蒙算符的指标丛与 $ E_8 $ 余循环群基本表示相关的 $ L(E_8) $-丛重合？
• RQ4 指标分量 $ \operatorname{ch}_0 $、$ \operatorname{ch}_2 $ 等在非平凡 $ p_1 $-类下如何变换，会引出何种关系？

主要发现

• 当 $ p_1(Z) = 0 $ 时，狄拉克-拉蒙算符指标丛的陈示性类由包含 $ E_4(q) $、$ E_6(q) $ 与庞特里亚金类的模表达式给出。
• 指标丛满足 $ \operatorname{ch}_0(\operatorname{Ind} \not{\partial}^{V_1}) = 248 \operatorname{ch}_0(\operatorname{Ind} \not{\partial}) $ 与 $ \operatorname{ch}_2(\operatorname{Ind} \not{\partial}^{V_1}) = -496 \operatorname{ch}_2(\operatorname{Ind} \not{\partial}) $，与已知的反常抵消公式一致。
• 对于 $ \dim X < 16 $ 的八维弦流形，$ (K(X) \otimes \mathbb{Q})[[q]] $ 中的指标丛等价于与 $ E_8 $ 余循环群基本表示相关的 $ L(E_8) $-丛。
• 指标丛的 $ \operatorname{ch}_0 $ 与 $ \operatorname{ch}_2 $ 的显式公式被推导为纤维上的积分：$ \int_Y \frac{-31p_2(V)}{180} $ 与 $ \int_Y \frac{-13p_1(V)p_2(V) + 62p_3(V)}{7560} $，分别对应。
• 生成函数 $ \bigotimes_{j=1}^\infty S_{q^j} W_\mathbb{C} $ 允许将指标丛表示为扭曲狄拉克算符指标的形式和，从而实现模形式分析。
• 陈示性类展开表明，$ \widehat{a}(V,\tau) e^{G_2(\tau)p_1(V)} $ 通过 $ \exp\left( \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{(2n)!} G_{2n}(\tau) \operatorname{Tr}(y^{2n}) \right) $ 编码指标，该表达式通过埃斯泰因系列与牛顿恒等式重写。