[论文解读] The index growth and multiplicity of closed geodesics

Huagui Duan, Yiming Long|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2010

Advanced Differential Geometry Research被引用 3

一句话总结

本文通过分析紧致单连通Finsler流形上无理闭测地线的指标增长，将先前关于闭测地线的结果推广至无理情形。利用Morse理论与指标迭代公式，作者证明了在每个紧致单连通不可逆或可逆Finsler 4-流形上，至少存在两条不同的本原闭测地线，推广了此前在3-流形及球面情形下的结果。

ABSTRACT

In the recent paper \cite{LoD1}, we classified closed geodesics on Finsler manifolds into rational and irrational two families, and gave a complete understanding on the index growth properties of iterates of rational closed geodesics. This study yields that a rational closed geodesic can not be the only closed geodesic on every irreversible or reversible (including Riemannian) Finsler sphere, and that there exist at least two distinct closed geodesics on every compact simply connected irreversible or reversible (including Riemannian) Finsler 3-dimensional manifold. In this paper, we study the index growth properties of irrational closed geodesics on Finsler manifolds. This study allows us to extend results in \cite{LoD1} on rational and in \cite{DuL1}, \cite{Rad4} and \cite{Rad5} on completely non-degenerate closed geodesics on spheres and $\CP^2$ to every compact simply connected Finsler manifold. Then we prove the existence of at least two distinct closed geodesics on every compact simply connected irreversible or reversible (including Riemannian) Finsler 4-dimensional manifold.

研究动机与目标

• 将闭测地线的多重性结果从有理闭测地线推广至Finsler流形上的无理闭测地线。
• 将此前在球面与复射影空间上的结果推广至所有紧致单连通Finsler流形。
• 在4维紧致单连通Finsler流形上建立至少两条不同的本原闭测地线的存在性。
• 利用Bott型迭代公式与Morse指标理论，分析无理闭测地线的迭代指标增长特性。
• 在无需截断条件或非退化条件的前提下，解决高维情形下的多重性问题。

提出的方法

• 根据基本法向型分解中是否存在无理旋转矩阵，将本原闭测地线分类为有理型与无理型。
• 应用Morse指标迭代的Bott型公式，使用公式 $ i(c^m) = \text{Tr}(D\tau^m) $，其中 $ D\tau $ 为线性化Poincaré映射。
• 利用恒等式 $ \frac{2T}{n} \text{Tr} \big( \text{sum over } m \text{ and } l_m \big) = T \tilde{i}(c) B(d,h) $ 分析自由环路空间中的贝蒂数增长。
• 通过反证法证明：贝蒂数 $ b_{k} $ 必须为偶数整数，当其为奇数时（如 $ b_1 = 1 \notin 2\bbN_0 $）产生矛盾。
• 将 [LoD1] 和 [DuL1] 中的证明技巧适配至不可逆与可逆Finsler情形，利用对称性与指标单调性性质。
• 利用 $ \tilde{i}(c) = \text{平均指标} $ 与 $ B(d,h) $ 为已知拓扑不变量的事实，推导出闭测地线数量的全局约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将3维紧致单连通Finsler流形上至少存在两条不同闭测地线的多重性结果，推广至4维情形？
• RQ2 无理闭测地线的指标增长特性与有理闭测地线有何不同？其是否可用于推导全局多重性结果？
• RQ3 自由环路空间的贝蒂数对几何上不同的闭测地线数量施加了何种约束？
• RQ4 基于偶数贝蒂数的反证法能否推广至不可逆Finsler度量？
• RQ5 在4维情形下，若仅存在一条几何上不同的本原闭测地线，其在指标迭代下是否导致矛盾？

主要发现

• 本文证明了每个紧致单连通不可逆或可逆Finsler 4-流形均至少包含两条不同的本原闭测地线。
• 当假设仅存在一条几何上不同的本原闭测地线时，将导致 $ b_1 = 1 \notin 2\bbN_0 $，违反由指标迭代导出的贝蒂数偶性，从而产生矛盾。
• 对于无理闭测地线，其指标增长模式通过Bott型公式与恒等式 $ \frac{2T}{n} \text{Tr}(\text{sum}) = T \tilde{i}(c) B(4,1) $ 进行分析，当仅存在一条测地线时，该恒等式导致矛盾。
• 该结果推广了此前在3-流形上对有理测地线的研究，以及在球面与 $ \bbC P^2 $ 上对非退化测地线的研究，现涵盖所有紧致单连通Finsler流形。
• 该证明对可逆（包括黎曼情形）与不可逆Finsler度量均成立，可逆情形下仅需对论证作微小调整。
• 关键矛盾 $ 1 = b_1 = M_1 \notin 2\bbN_0 $ 在多种情形（如 $ i(c) = 0,1,2 $）下被导出，确认了单条闭测地线的不可能性。