[论文解读] The index of a geodesic in a Randers space and some remarks about the lack of regularity of the energy functional of a Finsler metric

Erasmo Caponio|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Aug 1, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文通過靜止到蘭德斯對應關係（SRC）建立了蘭德斯空間中測地線的莫爾斯指數與其對應共形靜止洛倫茲時空內未來指向類光提升之間的精確對應關係。此外，本文分析了在 $H^1$ 曲線空間上 Finsler 擬量能量泛函的非正則性，表明由於度量二階導數在零切向量處的非光滑性，能量的二階變分無法實現 $C^2$ 正則性，進而影響莫爾斯理論的應用。

ABSTRACT

In some recent papers, the relations existing between the metric properties of Randers spaces and the conformal geometry of stationary Lorentzian manifolds were discovered and investigated. In this note, we focus on the equality between the index of a geodesic in a Randers space and that of its lightlike lift in the associated conformal stationary spacetime. Moreover we make some remarks about regularity of the energy functional of a Finsler metric on the infinite dimensional manifold of $H^1$ curves between two points, in connection with infinite dimensional techniques in Morse Theory.

研究动机与目标

• 建立蘭德斯空間中測地線的莫爾斯指數與其在共形靜止洛倫茲時空中對應提升之間的嚴謹對應關係。
• 研究在連接兩點的無限維 $H^1$ 曲線流形上，Finsler 擬量能量泛函的 $C^2$ 正則性失效問題。
• 釐清此非正則性對無限維莫爾斯理論在 Finsler 幾何中應用的影響。
• 為透過靜止到蘭德斯對應關係（SRC）將變分方法推廣至非光滑 Finsler 擬量提供幾何與分析基礎。

提出的方法

• 利用靜止到蘭德斯對應關係（SRC），該關係在蘭德斯空間與標準靜止洛倫茲流形之間建立共形雙射。
• 將蘭德斯空間中的一條測地線 $x(s)$ 提升為 $S \times \mathbb{R}$ 中的一條未來指向類光曲線 $z(s) = (x(s), t(s))$，其中 $t(s)$ 通過對蘭德斯度量 $R(x, \dot{x})$ 的積分定義。
• 證明若 $x(s)$ 以恆定 $h$-速度參數化，則其提升在洛倫茲時空中為類光測地線，其中 $h$ 為蘭德斯度量的黎曼部分。
• 透過分析 Hilbert 流形 $H^1_0([0,1], \mathbb{R}^n)$ 上能量泛函的二階變分，應用無限維莫爾斯理論技術。
• 利用在小可測集 $J_\epsilon$ 上支撐的測試變分 $\eta_\epsilon$、$\xi_\epsilon$ 進行反證法，證明 $F^2$ 的二階導數在極限下必須為零，從而凸顯 $C^2$ 正則性的失效。
• 應用勒貝格控制收斂定理來控制二階變分中的誤差項，表明只要 $\partial_v F^2$ 在基點處光滑，$v=0$ 處的非光滑性不會阻礙論證。

实验结果

研究问题

• RQ1 蘭德斯空間中測地線的莫爾斯指數是否與其在對應共形靜止洛倫茲時空中未來指向類光提升的指數一致？
• RQ2 Finsler 擬量在 $H^1$ 曲線空間上的能量泛函的正則性類別為何？其對變分方法有何影響？
• RQ3 能否嚴謹分析能量泛函在零切向量處 $C^2$ 光滑性的缺失，並量化其對莫爾斯理論的後果？
• RQ4 靜止到蘭德斯對應關係（SRC）如何在 Finsler 度量二階導數非光滑的情況下仍能保持指數資訊？

主要发现

• 蘭德斯空間中測地線的莫爾斯指數等於其在對應共形靜止洛倫茲時空中未來指向類光提升的指數。
• 即使 $\partial_v F^2$ 在 $q$ 處光滑，Finsler 擬量的能量泛函在 $H^1$ 曲線空間上仍無法實現 $C^2$ 正則性，這是因為 $\partial_{vv}F^2(q,v)$ 在 $v=0$ 處非光滑。
• 儘管缺乏 $C^2$ 正則性，仍可透過基於 $L^2$ 的技術與可測測試變分分析能量泛函的二階變分，進而使莫爾斯理論在此設定中得以應用。
• 利用在測度為 $\epsilon$ 的集合 $J_\epsilon$ 上支撐的 $\epsilon$-支援變分 $\eta_\epsilon$、$\xi_\epsilon$ 的反證法表明，二階變分在極限下必須為零，從而證明指數形式所需的正則性條件。
• $v=0$ 處的非光滑性不會阻礙二階變分公式的推導，因為僅需 $\partial_v F^2$ 在基點 $q$ 處光滑即可。