[论文解读] The index of shrinkers of the mean curvature flow

Zihan Hans Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文引入了均曲率流中自相似收缩超曲面的F-指标与熵指标概念，证明在ℝ³中（除去球面、圆柱面和平面外）旋转对称的收缩超曲面的F-指标与熵指标均至少为3。该结果在旋转对称性及法向量场的几何条件假设下可推广至高维情形，表明其在基于熵的稳定性准则下具有强不稳定性。

ABSTRACT

We introduce a notion of index for shrinkers of the mean curvature flow. We then prove a gap theorem for the index of rotationally symmetric immersed shrinkers in R^3, namely, that such shrinkers have index at least 3, unless they are one of the stable ones: the sphere, the cylinder, or the plane. We also provide a generalization of the result to higher dimensions.

研究动机与目标

• 定义并分析均曲率流中自相似收缩超曲面的F-指标与熵指标，捕捉超越平凡对称性的线性不稳定性。
• 建立一个间隙定理，表明在ℝ³中非标准旋转对称收缩超曲面的F-指标与熵指标均至少为3。
• 在旋转对称性及法向量场的几何条件假设下，将结果推广至高维收缩超曲面。
• 建立F-指标与熵指标之间的联系，表明在相同条件下，F-不稳定性蕴含熵-不稳定性。
• 探讨在F-泛函下，静止变面积的指标、正则性与奇点之间的联系。

提出的方法

• 将F-指标定义为在平移与缩放模下，使收缩超曲面在F-泛函下不稳定的线性无关变分的个数。
• 将熵指标定义为使熵泛函不稳定的独立变分的个数，其中熵泛函是F-泛函在所有中心上的上确界。
• 对旋转对称收缩超曲面的F-泛函相关雅可比算子应用谱分析。
• 施加一个几何条件：径向法向分量 $ e_r \cdot \mathbf{n} $ 必须同时取正值与负值，以排除径向图的情形。
• 利用比较论证与F-泛函二阶变分的结构，从下方界定指标。
• 依赖Colding与Minicozzi（2012）关于熵稳定性的结果，以及对非积收缩超曲面，熵稳定性与F-稳定性等价的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在ℝ³中，非球面、非圆柱面、非平面的旋转对称自相似收缩超曲面的F-指标最小可能值是多少？
• RQ2 在均曲率流奇点的背景下，F-指标与熵指标之间有何关系？
• RQ3 在ℝⁿ⁺¹中，何种几何条件下，旋转对称收缩超曲面的F-指标至少为3？
• RQ4 F-指标能否被单个满足α-结构假设的静止整值变面积中的奇点个数从下方控制？
• RQ5 这些指标结果在多大程度上可推广至非光滑或奇异收缩超曲面，特别是具有孤立奇点的情形？

主要发现

• 所有在ℝ³中非球面、非圆柱面、非平面的旋转对称浸入收缩超曲面，其F-指标至少为3。
• 在高维情形下，对于在SO(n)旋转下不变的收缩超曲面，若法向量场的径向分量同时取正值与负值，则该结论依然成立。
• 此类收缩超曲面的熵指标同样至少为3，这是通过Colding与Minicozzi的结果，将熵不稳定性与F-不稳定性关联而得出的。
• 对于满足α-结构假设的ℝⁿ⁺¹中静止整值变面积（n ≤ 6），其正则部分的F-指标至少等于奇点个数。
• F-指标在与ℝᵐ等距乘积下保持不变，因此该指标结果可推广至可分裂出一条直线的收缩超曲面。
• 几何条件 $ e_r \cdot \mathbf{n} $ 同时取正负值可排除径向图情形，并在SO(2)对称性下确保指标下界成立。