[论文解读] The infinity Quillen functor, Maurer-Cartan elements and DGL realizations

Urtzi Buijs, Yves Félix+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新的共单纯完全微分graded李代数（cDGL）${\mathfrak{L}}_{\bullet}$的构造方法，基于张量代数上的新李括号公式，实现了任意cDGL $L$的几何实现，即单形集$\langle L\rangle = \operatorname{Hom}_{\text{cDGL}}({\mathfrak{L}}_{\bullet}, L)$。关键结果是$\langle L\rangle$同构于神经复形$\gamma_{\bullet}(L)$，后者是Getzler-Hinich实现的形变收缩，从而建立了强同伦等价，并统一了有理同伦论中各种实现方式。

ABSTRACT

We show an alternative construction of the cosimplicial free complete diferential graded Lie algebra $\mathfrak{L}_\bullet=\widehat{\mathbb{L}}(s^{-1}Δ^\bullet)$ based on a new Lie bracket formulae for Lie polynomials on a general tensor algebra. Based on it,we prove that for any complete differential graded Lie algebra $L$, its geometrical realization $\langle L angle= ext{Hom}_{ ext{cdgl}}(\mathfrak{L}_\bullet,L)$ is isomorphic to its nerve $γ_\bullet(L)$, a deformation retract of the Getzler-Hinich realization $ ext{MC}(\mathscr{A}_\bullet\widehat{\otimes} L)$.

研究动机与目标

• 通过张量代数上的新李括号公式，提供一种替代的、代数上明确的共单纯cDGL ${\mathfrak{L}}_{\bullet} = \widehat{\mathbb{L}}(s^{-1}\Delta^{\bullet})$ 的构造方法。
• 通过 $\operatorname{Hom}_{\text{cDGL}}({\mathfrak{L}}_{\bullet}, L)$ 构造任意完全微分graded李代数 $L$ 的几何实现 $\langle L\rangle$，确保与现有模型的兼容性。
• 证明该几何实现 $\langle L\rangle$ 同构于神经复形 $\gamma_{\bullet}(L)$，后者是Getzler-Hinich实现的已知形变收缩。
• 通过同伦收缩技术和 $L_\infty$-代数结构，统一有理同伦论中cDGL的不同实现方式，证明 $\langle L\rangle \cong \gamma_{\bullet}(L)$。

提出的方法

• 在一般张量代数上引入李多项式的新李括号公式，将经典的Quillen函子 $\mathcal{L}$ 扩展至 $C_\infty$-余代数。
• 将共单纯cDGL ${\mathfrak{L}}_{\bullet}$ 构造为 $\widehat{\mathbb{L}}(s^{-1}\Delta^{\bullet})$，其微分由标准 $n$-单形的单纯链复形诱导。
• 利用同伦收缩理论关联余交换微分graded余代数 $C$ 及其有限型子复形 $V$，在 $\operatorname{Hom}(V, L)$ 上诱导出 $L_\infty$-结构。
• 通过定理0.3，建立 $\operatorname{Hom}(V, L)$ 的Maurer-Cartan元素与从 $\mathcal{L}(V)$ 到 $L$ 的cDGL同态之间的双射。
• 对CDGA进行对偶化构造，在 $V \otimes L$ 上得到同构于 $\operatorname{Hom}(V^\sharp, L)$ 的 $L_\infty$-结构，从而得出定理0.4。
• 证明单形Maurer-Cartan集之间的映射 $\operatorname{MC}(I_n)$ 满足 $\operatorname{MC}(I_n)(\alpha_{0\dots n} \otimes \Phi) = \omega_{0\dots n} \otimes \Phi$，利用 $L_\infty$-同态 $I_n$ 的递归Taylor级数展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于张量代数上的新李括号公式，独立于归纳法或同伦传递方法，构造共单纯cDGL ${\mathfrak{L}}_{\bullet}$？
• RQ2 几何实现 $\langle L\rangle = \operatorname{Hom}_{\text{cDGL}}({\mathfrak{L}}_{\bullet}, L)$ 是否同伦等价于Getzler-Hinich实现 $\operatorname{MC}({\mathscr{A}}_{\bullet} \widehat{\otimes} L)$？
• RQ3 在无有限性假设的完全一般情形下，单形集 $\langle L\rangle$ 是否与神经复形 $\gamma_{\bullet}(L)$ 一致，后者是 $\operatorname{MC}({\mathscr{A}}_{\bullet} \widehat{\otimes} L)$ 的子单形集？
• RQ4 能否通过显式的 $L_\infty$-同态及诱导映射的Taylor级数展开，建立 $\langle L\rangle$ 与 $\gamma_{\bullet}(L)$ 之间的同伦等价？

主要发现

• 本文通过张量代数上的新李括号公式构造了共单纯cDGL ${\mathfrak{L}}_{\bullet}$，为先前构造提供了一种非归纳的、代数明确的替代方法。
• 几何实现 $\langle L\rangle = \operatorname{Hom}_{\text{cDGL}}({\mathfrak{L}}_{\bullet}, L)$ 作为单形集同构于神经复形 $\gamma_{\bullet}(L)$，如定理3.8所述。
• 同构 $\langle L\rangle \cong \gamma_{\bullet}(L)$ 通过复合同伦等价 $\langle L\rangle \simeq \operatorname{MC}(C^*(\Delta^\bullet) \otimes L)$ 与已知同伦等价 $\gamma_{\bullet}(L) \simeq \operatorname{MC}(C^*(\Delta^\bullet) \otimes L)$ 建立。
• 对任意 $n \geq 1$，同伦群 $\pi_n \langle L^{(z)} \rangle$ 同构于 $H_{n-1}(L^{(z)})$，其中度数1的同构由Baker-Campbell-Hausdorff公式给出。
• 诱导映射 $\operatorname{MC}(I_n)$ 满足 $\operatorname{MC}(I_n)(\alpha_{0\dots n} \otimes \Phi) = \omega_{0\dots n} \otimes \Phi$，由于 $\omega_{0\dots n}$ 的幂零性，高阶项消失。
• $L_\infty$-同态 $I_n$ 具有递归Taylor级数展开，当作用于 $\alpha_{0\dots n} \otimes \Phi$ 时，有 $I_n^{(1)} = i_n$ 且对所有 $k \geq 2$ 满足 $I_n^{(k)} = 0$，这是由于 $\omega_{0\dots n}$ 的幂次消失所致。