[论文解读] The influence of the coefficients of a system of coupled wave equations with fractional damping on its stabilization

Mohammad Akil, Mouhammad Ghader+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 44被引用 3

一句话总结

本文研究了通过速度耦合的两个一维波动方程系统的稳定性，仅在边界处施加了Caputo型分数阶阻尼（阶数 α ∈ (0,1)）。通过频域方法结合乘子法，建立了依赖于耦合参数 b、波速比 a 和分数阶阻尼阶数 α 的最优多项式能量衰减速率。关键结果为：当波速相等（a=1）时，若 b ∉ πℤ，则衰减速率为 t⁻²⁄⁽¹⁻ᵃ⁾；若 b ∈ πℤ，则衰减速率为 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾；当波速不等时，在 a 和 b 的多种条件下，衰减速率为 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾。

ABSTRACT

In this work, we consider a system of two wave equations coupled by velocities in one-dimensional space, with one boundary fractional damping. First, we show that the system is strongly asymptotically stable if and only if the coupling parameter b of the two equations is outside a discrete set of exceptional real values. Next, we show that our system is not uniformly stable. Hence, we look for a polynomial decay rate for smooth initial data. Using frequency domain approach combining with multiplier method, we prove that the energy decay rate is greatly influenced by the nature of the coupling parameter b, the arithmetic property of the ratio of the wave propagation speeds a, the order of the fractional damping. Indeed, under the equal speed propagation condition, we establish an optimal polynomial energy decay rate. Furthermore, when the wave propagate with different speeds, under some arithmetic conditions on the ratio of the wave propagation speeds, we prove that the energy of our system decays polynomially to zero.

研究动机与目标

• 分析系数（特别是耦合参数 b、波速比 a 和分数阶阻尼阶数 α）对通过速度耦合的两个波动方程系统稳定性的影响力。
• 在仅存在一个边界分数阶阻尼的条件下，确定系统是否表现出一致或仅多项式能量衰减。
• 在 b、a 和 α 的不同条件下，为光滑初值的能量建立最优多项式衰减速率。
• 研究 √a 的算术性质（有理或几乎全部无理）以及 b 的大小对衰减速率的影响。
• 将现有关于标量分数阶阻尼波动方程的结果推广至更具复杂性的耦合系统间接阻尼情形。

提出的方法

• 采用频域方法分析系统生成元的预解增长，将谱性质与长期能量衰减联系起来。
• 应用乘子法推导能量估计并控制边界项，特别是涉及 x=1 处的分数阶导数。
• 利用 Riesz 基性质与谱分析刻画系统算子的特征值与特征函数。
• 通过 Riemann-Lebesgue 引理与丢番图逼近的矛盾论证，排除一致衰减并证明多项式衰减。
• 引入依赖于参数的乘子以处理耦合项，并在频域中控制能量演化。
• 分析复平面上预解范数的渐近行为，特别是靠近虚轴附近，以推导衰减估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在耦合参数 b 的何种条件下，具有分数阶阻尼的耦合波动方程系统是强渐近稳定的？
• RQ2 为何系统无法实现一致（指数）稳定？能量的多项式衰减速率由什么决定？
• RQ3 波传播速度比 a 如何影响能量衰减速率，特别是在 a ≠ 1 时？
• RQ4 √a 的算术性质（有理或几乎全部无理）在确定衰减速率中起什么作用？
• RQ5 当 a 为有理数但 √a 为无理数时，耦合参数 b 的大小如何影响衰减速率？

主要发现

• 当且仅当耦合参数 b 不属于离散集 πℤ 时，系统是强渐近稳定的。
• 系统不具有一致稳定性，能量呈多项式衰减而非指数衰减。
• 当波速相等（a=1）时，若 b ∉ πℤ，最优能量衰减速率为 t⁻²⁄⁽¹⁻ᵃ⁾；若 b ∈ πℤ，则衰减速率为 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾。
• 当波速不等（a ≠ 1）时，对所有有理数 √a 及几乎所有无理数 √a，能量衰减为 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾。
• 当 a ∈ ℚ 且 √a ∉ ℚ，且 b 足够小时，衰减速率仍为 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾。
• 在所述条件下，衰减速率 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾ 是最优的，且本文推测在其余情况下衰减更慢。