[论文解读] The influence of the rolling resistance model on tippe top inversion

Alexander A. Kilin, Elena N. Pivovarova|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2020

Magnetic Bearings and Levitation Dynamics参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文通过分析不同耗散力配置下第一积分（Jellett、Lagrange 或面积积分）的保持情况，研究了不同滚动阻力模型对翻转陀螺翻转行为的影响。结果表明，当滚动阻力被建模为水平力矩时，面积积分保持不变，翻转不会发生；而只有在保持 Jellett 积分的特定摩擦模型下，翻转才可能发生。

ABSTRACT

In this paper, we analyze the effect which the choice of a friction model has on tippe top inversion in the case where the resulting action of all dissipative forces is described not only by the force applied at the contact point, but also by the additional rolling resistance torque. We show that, depending on the friction model used, the system admits different first integrals. In particular, we give examples of friction models where the Jellett integral, the Lagrange integral or the area integral is preserved. We examine in detail the case where the action of all dissipative forces reduces to the horizontal rolling resistance torque. For this case we find permanent rotations of the system and analyze their linear stability. Also, we show that for this friction model no inversion is observed.

研究动机与目标

• 分析滚动阻力模型对在水平面上滚动的翻转陀螺动力学及翻转行为的影响。
• 确定在不同摩擦模型下，哪些第一积分（Jellett、Lagrange、面积）得以保持。
• 研究在水平滚动阻力力矩模型下，永久旋转的稳定性。
• 阐明基于耗散力模型，翻转陀螺发生或被阻止的条件。
• 对存在滚动和旋转摩擦时的相流与吸引子进行定性和定量分析。

提出的方法

• 为一个在水平面上滚动、带有耗散力的重力、非对称、轴对称翻转陀螺建立运动方程。
• 引入一种滚动阻力力矩模型，其中包含接触力和额外力矩，与标准滑动摩擦模型不同。
• 在本体系固定参考系中，利用运动学关系和转动动力学分析系统，通过旋转矩阵追踪姿态变化。
• 根据摩擦模型的结构，识别第一积分（Jellett、Lagrange、面积）及其守恒性质。
• 对水平滚动阻力模型下的永久旋转解（上、下垂直旋转）进行线性稳定性分析。
• 通过在 $(K_1, C)$ 平面上的数值相流投影，可视化不同初始条件和摩擦参数下的轨迹演化与吸引子行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 滚动阻力模型的选择如何影响翻转陀螺动力学中第一积分的存在性与守恒性？
• RQ2 在哪些摩擦模型下观察到翻转陀螺翻转，而在哪些模型下被阻止？
• RQ3 当滚动阻力被建模为水平力矩时，面积积分在决定翻转缺失中的作用是什么？
• RQ4 在水平滚动阻力模型下，永久旋转（上、下垂直旋转）的行为如何，其稳定性由什么决定？
• RQ5 加入小量旋转摩擦后，对系统长期动力学及吸引子之间的转换有何影响？

主要发现

• 当滚动阻力被建模为水平力矩时，面积积分 $ C $ 保持不变，且不会发生翻转陀螺翻转。
• 对于水平滚动阻力模型，存在稳定的永久旋转 $ ho_0 $ 和 $ ho_l $，其中 $ ho_0 $ 在 $ |C| > C^* $ 时稳定，$ ho_l $ 在 $ |C| < C^* $ 时稳定。
• 当 $ i_1 > i_3 $ 时，若 $ |C| > C^* $，轨迹趋向 $ ho_0 $；若 $ |C| < C^* $，则趋向 $ ho_l $，表明当 $ i_1 > i_3 $ 时不会发生翻转。
• 当引入旋转摩擦（$ u_s eq 0 $）时，面积积分 $ C $ 不再守恒，且在 $ |C| > C^* $ 时初始阶段观察到部分翻转。
• 相流投影显示，轨迹随 $ C $ 随时间缓慢减小，从 $ ho_0 $ 演化至 $ ho_l $，最终稳定在下部平衡态。
• 系统表现出不同的动力学区域：初始吸引至 $ ho_0 $，随后沿 $ ho_0 $ 缓慢演化，当 $ |C| < C^* $ 时最终过渡至 $ ho_l $。