[论文解读] The infrared limit of the Similarity Renormalization Group evolution and Levinson's theorem

E. Ruiz Arriola, S. Szpigel+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2014

Nuclear physics research studies参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文研究了在有限动量网格上相似性重整化群（SRG）演化在红外极限下的行为，表明不同的SRG生成器（Wegner与Wilson）会在对角化后的哈密顿量中诱导出不同的本征值排序。研究证明，只有特定的排序——尤其是Wegner生成器所产生的排序——在通过能量位移定义相移时满足Levinson定理，从而实现与束缚态计数相容的同谱相移提取。

ABSTRACT

On a finite momentum grid with N integration points and weights the Similarity Renormalization Group (SRG) with a given generator G unitarily evolves an initial interaction with a cutoff on energy differences. This steadily drives the starting Hamiltonian in momentum space to a diagonal form in the infrared limit corresponding to a permutation of the eigenvalues and depends on G. Levinson's theorem establishes a relation between phase-shifts and the number of bound-states. We show that unitarily equivalent Hamiltonians on the grid generate reaction matrices which are compatible with Levinson's theorem but are phase-inequivalent along the SRG trajectory. An isospectral definition of the phase-shift in terms of an energy-shift is possible but requires in addition a proper ordering of states on a momentum grid in order to fulfill Levinson's theorem. We show how the SRG with different generators G induces different isospectral flows in the presence of bound-states, leading to distinct orderings in the infrared limit. While the Wilson generator induces an ascending ordering incompatible with Levinson's theorem, the Wegner generator provides a much better ordering, although not the optimal one. We illustrate the discussion with the nucleon-nucleon (NN) interaction in the 1S0 and 3S1 channels.

研究动机与目标

• 分析在有限动量网格上SRG演化的红外极限及其对相移定义的影响。
• 研究不同SRG生成器（Wegner与Wilson）对本征值排序及与Levinson定理相容性的影响。
• 确定是否能通过能量位移定义，从SRG演化后的哈密顿量中一致地提取同谱相移。
• 评估在存在束缚态的情况下，特别是核子-核子相互作用中，相移重构的准确性。
• 确定最优动量标度，以最小化相移重构中的RMS误差，使束缚态本征值位置最优。

提出的方法

• 在包含N个积分点和权重的有限动量网格上，数值求解SRG流方程。
• 使用Wilson和Wegner两种生成器对初始哈密顿量进行幺正变换，演化至红外极限（λ → 0）。
• 对演化后的哈密顿量进行对角化，以提取本征值并确定不同生成器下的排序。
• 通过本征值的能量位移来定义相移，确保SRG轨迹上保持同谱性。
• 将重构的相移与Lippmann-Schwinger方程的精确解进行比较，以评估准确性。
• 通过调整能量位移方案中束缚态本征值的位置，以最小化不同N值下的RMS误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 SRG生成器的选择（Wegner与Wilson）如何影响在有限动量网格上红外极限下的本征值排序？
• RQ2 通过能量位移定义的相移是否能在SRG轨迹上保持同谱性并兼容Levinson定理？
• RQ3 Wegner生成器是否在满足Levinson定理方面，提供优于Wilson生成器的本征值排序？
• RQ4 在能量位移相移定义方案中，放置束缚态本征值的最优动量标度是什么？
• RQ5 相移重构的准确性如何依赖于网格点数N以及束缚态本征值的位置？

主要发现

• Wilson生成器诱导出与Levinson定理不相容的本征值升序排序，因其未能正确反映束缚态的贡献。
• Wegner生成器产生更优的本征值排序，使得通过能量位移定义的相移能够满足Levinson定理。
• 采用Wegner生成器的SRG演化能正确识别束缚态本征值应放置的动量标度，尽管其略微低估了最优位置。
• 最小化RMS误差的最优束缚态本征值位置 $p_{n_{\rm BS}}^{\rm opt}$ 与Wegner生成器诱导的位置 $p_{n_{\rm BS}}^{\rm weg}$ 不同，表明仍有改进空间。
• 在连续极限下，最优束缚态动量标度似乎趋近于物理氘核动量 $\gamma = 0.23~{\rm fm}^{-1}$，提示存在普遍的标度行为。
• 基于能量位移的相移定义在有限网格误差范围内，能准确描述低动量和高动量行为，验证了其在SRG计算中的适用性。