[论文解读] The \infty eigenvalue problem and a problem of optimal transportation

Thierry Champion, Luigi De Pascale+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2008

Mathematics and Applications被引用 14

一句话总结

本文通过最优传输问题，以新颖方式表征了∞-拉普拉斯算子的第一特征值与特征函数，将p→∞时p-拉普拉斯特征值问题的渐近极限与质量传输联系起来。研究证明，特征函数u∞是距离函数乘以内接圆半径倒数的缩放形式，并表明极限测度f∞的支集包含于u∞的极大化点之中，且u∞在传输射线上满足粘性次解性质。

ABSTRACT

The so-called eigenvalues and eigenfunctions of the infinite Laplacian $Δ_\infty$ are defined through an asymptotic study of that of the usual $p$-Laplacian $Δ_p$, this brings to a characterization via a non-linear eigenvalue problem for a PDE satisfied in the viscosity sense. In this paper, we obtain an other characterization of the first eigenvalue via a problem of optimal transportation, and recover properties of the first eigenvalue and corresponding positive eigenfunctions.

研究动机与目标

• 通过最优传输方法，为第一∞-特征值与特征函数提供一种新的表征方式。
• 利用传输理论方法，分析p→∞时p-拉普拉斯特征值问题的渐近行为。
• 建立极限特征函数u∞的性质，包括其与距离函数和内接圆半径的关系。
• 研究极限测度f∞支集的结构及其与u∞极大化点的关系。
• 探讨Ω不同区域中u∞的PDE性质，特别是沿传输射线的行为。

提出的方法

• 对p→∞时的p-拉普拉斯特征值问题进行形式渐近分析，导出粘性意义下的∞-特征值问题。
• 利用瑞利商与临界值定义p-拉普拉斯算子的特征值。
• 引入一个最优传输问题(P∞)，其代价函数为|x−y|，源测度f∞支集位于argmax u∞。
• 将传输集T定义为所有线段[y1,y2]的并集，其中y1∈spt(f∞)，y2∈p∂Ω(x)，构成传输射线。
• 应用粘性解理论，证明在T\(spt(f∞)∪∂Ω)中，有−Δ∞u∞≤0。
• 利用u_p→u∞的一致收敛性及涉及(1−α/2)^{p−1}的逐点估计，分析f∞的支集。

实验结果

研究问题

• RQ1 第一∞-特征值与特征函数能否通过最优传输问题表征？
• RQ2 极限测度f∞的支集是否包含于u∞的极大化点集合中？
• RQ3 特征函数u∞是否在传输射线上以粘性意义满足−Δ∞u∞≤0？
• RQ4 在何种条件下，argmax u∞与argmax dΩ重合？
• RQ5 传输集T的结构如何与Ω中不同区域u∞的PDE行为相关联？

主要发现

• 第一∞-特征值为Λ∞ = 1/R1，其中R1为Ω的内接圆半径。
• 极限特征函数u∞满足u∞(x) ≤ (1/R1)dΩ(x)，在极大化点处取等号，意味着argmax u∞ ⊆ argmax dΩ。
• f∞的支集包含于argmax u∞，由一致收敛性与(1−α/2)^{p−1}的衰减性可得。
• 在传输集T\(spt(f∞)∪∂Ω)中，u∞可微，且在粘性意义下满足−Δ∞u∞ ≤ 0。
• 在每条传输射线[y1,y2]上，有u∞(z) = Λ∞|z−y2|，且对所有z∈]y1,y2[，有|∇u∞(z)| = Λ∞。
• 该结果支持猜想spt(f∞) = argmax dΩ，若成立将解决关于argmax集合相等性的开放问题。