[论文解读] The initial-boundary value problem for the compressible viscoelastic fluids

Xianpeng Hu, Dehua Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文在有界区域中建立了三维可压缩粘弹性流体初边值问题在平衡附近的强解全局存在性。通过能量估计与加权Sobolev嵌入，证明了密度与形变梯度在 $q>3$ 下的统一 $W^{1,q}$ 有界性，该结果亦可推广至二维情形。

ABSTRACT

The global existence of strong solution to the initial-boundary value problem of the three-dimensional compressible viscoelastic fluids near equilibrium is established in a bounded domain. Uniform estimates in $W^{1,q}$ with $q>3$ on the density and deformation gradient are also obtained. All the results apply to the two-dimensional case.

研究动机与目标

• 建立有界区域内可压缩粘弹性流体初边值问题的强解全局存在性。
• 在三维情形下，推导出密度与形变梯度在 $q>3$ 下的统一 $W^{1,q}$ 估计。
• 将结果推广至二维空间情形。
• 在平衡附近分析系统，其中密度 $\varrho = 1$，速度 $\mathbf{u} = 0$，形变梯度 $\mathbf{F} = I$。
• 克服粘弹性流体中动能与内弹性能量之间耦合带来的分析挑战。

提出的方法

• 通过令 $\rho = \varrho - 1$ 与 $E = \mathbf{F} - I$，将原系统转化为平衡附近的扰动形式。
• 在 $L^q$ 空间中使用能量估计，且满足 $q > 3$，以控制解的增长。
• 利用加权 $L^q$ 估计与插值技巧，控制 $\|\nabla \rho\|_{L^q}$ 与 $\|\nabla E\|_{L^q}$。
• 利用初始条件导出的零均值性质，对 $\rho$ 与 $E$ 应用Poincaré不等式。
• 采用最大时间区间论证与反证法，证明解在时间上全局存在。
• 利用Oldroyd型系统的结构以及黏性算子的强椭圆性，完成能量估计的闭合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平衡附近，可压缩粘弹性流体初边值问题的强解是否能在时间上全局存在？
• RQ2 在 $W^{1,q}$ 中，密度与形变梯度可建立何种统一有界性（$q > 3$）？
• RQ3 流体运动与弹性记忆之间的耦合如何影响解的长时间行为？
• RQ4 该结果能否从三维空间推广至二维空间？
• RQ5 初始数据的大小在确保全局存在性中起何种作用？

主要发现

• 在有界区域中，三维可压缩粘弹性流体初边值问题在平衡附近的强解全局存在性得以建立。
• 对密度 $\rho$ 与形变梯度 $E$ 均获得了 $q > 3$ 下的统一 $W^{1,q}$ 估计。
• 解在所有时间 $t \in [0, \infty)$ 上存在，且 $\rho$ 与 $E$ 的 $W^{1,q}$ 范数在整个时间区间内保持有界。
• 该结果在三维与二维空间中均成立。
• $\nabla \rho$ 与 $\nabla E$ 的 $L^q$ 估计通过能量方法与Poincaré不等式得以控制。
• 证明依赖于对解最大存在时间的反证法，表明解不可能在有限时间内爆破。