[论文解读] The injectivity radius of hyperbolic surfaces and some Morse functions over moduli spaces

Matthieu Gendulphe|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文对基于双曲面上固定点的测地线环路的短程线（systole）进行了变分研究，引入了在Teichmüller空间上的Morse理论框架。它识别出短程线函数的临界点，表明非退化的临界点对应于短程线环路将曲面分解为正多边形的度量，并证明局部最大值是唯一的且全局最优，通过Bonahon的剪切坐标和Hessian分析，推广了Bavard与Deblois的先前短程线不等式。

ABSTRACT

This article is devoted to the variational study of two functions defined over some Teichmueller spaces of hyperbolic surfaces. One is the systole of geodesic loops based at some fixed point, and the other one is the systole of arcs.\par For each of them we determine all the critical points. It appears that the systole of arcs is a topological Morse function, whereas the systole of geodesic loops have some degenerate critical points. However, these degenerate critical points are in some sense the obvious one, and they do not interfere in the variational study of the function.\par At a nondegenerate critical point, the systolic curves (arcs or loops depending on the function involved) decompose the surface into regular polygons. This enables a complete classification of these points, and some explicit computations. In particular we determine the global maxima of these functions. This generalizes optimal inequalities due to Bavard and Deblois. We also observe that there is only one local maximum, this was already proved in some cases by Deblois.\par Our approach is based on the geometric Vorono\''i theory developed by Bavard. To use this variational framework, one has to show that the length functions (of arcs or loops) have positive definite Hessians with respect to some system of coordinates for the Teichm\''uller space. Following a previous work, we choose Bonahon's shearing coordinates, and we compute explicitly the Hessian of the length functions of geodesic loops. Then we use a characterization of the nondegenerate critical points due to Akrout.

研究动机与目标

• 为基于双曲面上固定点的测地线环路的短程线建立一个变分框架。
• 在带标记点的Teichmüller空间上，表征该短程线函数的临界点。
• 确定短程线函数为拓扑Morse函数的条件，并对其非退化与退化临界点进行分类。
• 通过计算短程线函数的全局最大值，推广Bavard与Deblois的最优短程线不等式。

提出的方法

• 利用Bonahon的剪切坐标参数化Teichmüller空间，并计算测地线环路长度函数的Hessian矩阵。
• 应用几何Voronoï理论与Akrout对非退化临界点的刻画，分析短程线函数的临界结构。
• 在非退化临界点处，分析短程线环路将曲面分解为正多边形的特性，实现拓扑分类。
• 证明退化临界点恰好出现在至少一条基于基点的短程线环路为闭测地线的度量中，即集合Sing(S,p)。
• 通过在弧上使用剥层法（peeling method），证明非正则多边形分解无法产生严格局部极小值，从而支持临界点的唯一性。
• 建立短程线函数在稠密开子集Teich(S,p) − Sing(S,p)上为拓扑Morse函数，其指标由短程线环路的数量决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于双曲面上固定点的测地线环路的短程线的临界点是什么？
• RQ2 短程线函数在何时为拓扑Morse函数？在何时表现出退化临界点？
• RQ3 在非退化临界点处，基点处的短程线环路如何分解曲面？
• RQ4 短程线函数的全局最大值是什么？是否唯一？
• RQ5 短程线函数与最大内接半径及标准短程线之间有何关系？

主要发现

• 短程线函数sys_p的退化临界点集合恰好为Sing(S,p)，即所有至少有一条基于p的短程线环路为闭测地线的度量构成的集合。
• 在稠密开子集Teich(S,p) − Sing(S,p)上，短程线函数sys_p为拓扑Morse函数，且临界点非退化。
• 在非退化临界点处，基于p的短程线环路将曲面分解为正多边形，且临界点的指标等于此类环路数量减一。
• sys_p的全局最大值是唯一的，且在短程线环路将曲面划分为正三角形与一个带孔的单边形（holed monogon）时实现。
• 全局最大值处短程线函数的取值是某个三角函数方程的唯一正解，该方程涉及欧拉示性数、边界长度与反双曲函数。
• 本文证实局部最大值即为全局最大值，将Deblois对标准短程线函数的结果推广至点态短程线函数。