[论文解读] The integral Chow ring of the stack of hyperelliptic curves of even genus

Dan Edidin, Damiano Fulghesu|ArXiv.org|Dec 28, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文利用等变交点理论计算了偶数亏格 $g$ 的光滑双椭圆曲线堆栈的整数查尔斯环。结果表明 $A^*({/mathcal{H}}_g) \cong \mathbb{Z}[c_1, c_2]/(2(2g+1)c_1, g(g-1)c_1^2 - 4g(g+1)c_2)$，揭示了这些环出人意料的简洁结构，并识别出一个自然秩-2向量丛的示性类作为生成元。

ABSTRACT

Let $g$ be an even positive integer. In this paper we compute the integral Chow ring of the stack of smooth hyperelliptic curves of genus $g$.

研究动机与目标

• 计算偶数亏格 $g$ 的光滑双椭圆曲线堆栈 $\mathcal{H}_g$ 的整数查尔斯环。
• 将此前关于 $\mathcal{M}_2$ 和 $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ 的结果推广至所有偶数 $g$ 的完整整数查尔斯环。
• 识别 $\mathcal{H}_g$ 上一个自然向量丛，其示性类生成查尔斯环。
• 以示性类之间的显式关系表达 $A^*(\mathcal{H}_g)$ 的完整呈现。

提出的方法

• 利用 $\mathcal{H}_g$ 作为商堆栈 $[({\mathbb{A}}^{2g+3} \setminus \Delta_1)/\mathrm{GL}_2]$ 的识别，其中 $\Delta_1$ 为判别式奇点集。
• 应用等变交点理论，将 $A^*(\mathcal{H}_g)$ 视为开集 $\mathbb{A}^{2g+3} \setminus \Delta_1$ 的 $\mathrm{GL}_2$-等变查尔斯环。
• 通过等变查尔斯理论中的限制定理，将计算约化至 $\mathrm{GL}_2$ 的极大环 $T \subset \mathrm{GL}_2$。
• 利用一个关键的技术性命题，证明 $A^*_T(\mathbb{P}(\operatorname{Sym}^N E^*) \setminus \Delta_1)$ 是 $A^*_T(\mathbb{P}(\operatorname{Sym}^N E^*))$ 模由两个类生成的理想之商。
• 利用 $\mathrm{GL}_2$ 为特殊群的事实，从环 $T$-等变查尔斯环恢复 $\mathrm{GL}_2$-等变查尔斯环。
• 通过在布劳尔-塞弗里族上的几何实现，识别出 $\mathcal{H}_g$ 上一个典范秩-2向量丛 $\mathcal{V}_g$，其示性类生成查尔斯环。

实验结果

研究问题

• RQ1 偶数亏格 $g$ 的整数查尔斯环 $A^*(\mathcal{H}_g)$ 的结构是什么？
• RQ2 能否由一个自然向量丛的示性类生成 $\mathcal{H}_g$ 的查尔斯环？
• RQ3 次数为 $2g+2$ 且根互异的型形式空间的等变查尔斯环与 $A^*(\mathcal{H}_g)$ 有何关系？
• RQ4 $A^*(\mathcal{H}_g)$ 的生成元之间的定义关系是什么？
• RQ5 为何 $\mathcal{H}_g$ 的查尔斯环相比双椭圆映射类群的上同调而言如此简单？

主要发现

• 偶数亏格 $g$ 的 $\mathcal{H}_g$ 的整数查尔斯环同构于 $\mathbb{Z}[c_1, c_2]/(2(2g+1)c_1, g(g-1)c_1^2 - 4g(g+1)c_2)$。
• 生成元 $c_1$ 和 $c_2$ 是 $\mathcal{H}_g$ 上一个自然秩-2向量丛 $\mathcal{V}_g$ 的示性类，一般情况下并非典型类。
• 当 $g=2$ 时，该结果恢复了维斯蒂利对 $A^*(\mathcal{M}_2)$ 的呈现，因为所有亏格 2 曲线均为双椭圆曲线。
• 该结果恢复了阿尔斯和维斯蒂利的计算结果：$\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ 是阶为 $2(2g+1)$ 的循环群。
• $\mathcal{V}_g$ 的示性类并非典型类；特别地，$\lambda = (g/2)c_1$，因此当 $g \equiv 0 \pmod{4}$ 时，霍奇类 $\lambda$ 不是 $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ 的生成元。
• 该计算表明，$\mathcal{H}_g$ 的整数查尔斯环具有极为简洁的呈现形式，与双椭圆映射类群上同调的拓扑复杂性形成鲜明对比。