[论文解读] The Integral of the Riemann xi-function

Jeffrey C. Lagarias, David Montague|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文研究了黎曼xi函数的积分，定义为 $\xi^{(-1)}(s) = \int_{1/2}^s \xi(w)\,dw$，表明其在临界线上恰好有一个零点位于 $s = \frac{1}{2}$，在临界线外有无穷多个零点，并引入了一个无穷大的德布里伊-纽曼常数类比。研究使用傅里叶积分表示和函数方程，分析了与 $\xi^{(-1)}(s)$ 相关的一族单参数函数的零点分布。

ABSTRACT

This paper studies the integral of the Riemann xi-function. More generally, it studies a one-parameter family of functions given by Fourier integrals and satisfying a functional equation. Members of this family are shown to have only finitely many zeros on the critical line, with the integral of the Riemann xi-function having exactly one zero on the critical line, at s = 1/2. The zeros of the integral of the xi-function are shown to lie arbitrarily far away from the critical line. An analogue of the de Bruijn-Newman constant is introduced for this family, and shown to be infinite.

研究动机与目标

• 分析黎曼xi函数积分 $\xi^{(-1)}(s)$ 的零点分布，特别是其相对于临界线 $\mathrm{Re}(s) = \frac{1}{2}$ 的位置。
• 将德布里伊-纽曼常数的框架扩展到由傅里叶积分定义的一族单参数函数，并确定其行为。
• 研究 $\xi^{(-1)}(s)$ 及其相关函数在临界线上是否仅有有限个零点，以及其零点位置与黎曼猜想的关系。
• 探索 $\xi^{(-1)}(s)$ 的渐近行为和结构特性，包括零点的排序与间距模式。

提出的方法

• 定义 $\xi^{(-1)}(s) = \int_{1/2}^s \xi(w)\,dw$，其满足函数方程 $\xi^{(-1)}(s) = -\xi^{(-1)}(1-s)$。
• 使用傅里叶积分表示 $\Xi^{(-1)}(z) = 2\int_0^\infty \Phi(u)\frac{\sin zu}{u}\,du$，其中 $\Phi(u)$ 是从xi函数导出的快速衰减函数。
• 通过 $\Xi_\lambda(z) = 2\int_0^\infty e^{\lambda u^2}\Phi(u)\cos zu\,du$ 引入一族单参数函数 $\Xi_\lambda(z)$，推广原始的 $\Xi(z)$。
• 利用数值计算和渐近分析，研究 $\xi^{(-1)}(s)$ 和 $\xi^{(-1)}(s) - iA_0$ 的零点集，特别是在第一象限。
• 证明该族函数的德布里伊-纽曼常数类比为无穷大，意味着在形变下非实零点不可避免。
• 通过变量替换 $\Xi^{(-1)}(z) = -i\xi^{(-1)}(\frac{1}{2} + iz)$ 确保函数在实轴上为实值，从而便于分析零点分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否 $\xi^{(-1)}(s)$ 在临界线上仅有有限个零点，若有，具体有多少个？
• RQ2 是否存在 $\xi^{(-1)}(s)$ 的零点，其位置可任意远离临界线？
• RQ3 能否将德布里伊-纽曼常数推广至该族函数，其值是多少？
• RQ4 如何描述 $\xi^{(-1)}(s)$ 零点的渐近分布？它们是否遵循光滑曲线，还是表现出 GUE 类似的波动？
• RQ5 第一象限中零点虚部单调递增是否足以推出导数 $\xi(s)$ 的所有零点均位于临界线上？

主要发现

• 函数 $\xi^{(-1)}(s)$ 在临界线上恰好有一个零点，位于 $s = \frac{1}{2}$。
• 存在 $\xi^{(-1)}(s)$ 的零点，其位置可任意远离临界线，表明偏差无界。
• 该族函数的德布里伊-纽曼常数类比为无穷大，意味着在所有形变下非实零点均持续存在。
• 数值数据显示，$\xi^{(-1)}(s)$ 在第一象限的前 500 个零点大致位于一条光滑曲线上，表明其具有规则的渐近结构。
• 函数 $\xi^{(-1)}(s) - iA_0$（其中 $A_0 \approx 2.80668$）在下半平面的临界线上仅有有限个零点，且在高度 $T=160$ 处，约有三分之一的零点位于临界线上。
• $\xi^{(-1)}(s)$ 的零点间距表现出高度规律性，在前 500 个零点中未观察到类似 GUE 的波动，与黎曼 zeta 函数的间距表现形成鲜明对比。