[论文解读] The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 10: the digamma function

Luis A. Medina, Victor H. Moll|ArXiv.org|Sep 21, 2007

Mathematical functions and polynomials参考文献 4被引用 19

一句话总结

本文利用积分表示法和伽马函数与ψ函数的性质，对格拉德施泰因与里兹基积分表中涉及ψ(x)的定积分进行了分析评估。推导出关键结果如∫₀^∞[e⁻ˣ − (1+x)⁻ᵃ]/x dx = ψ(a)，并将这些结果扩展至包含幂次与对数项的积分族，将其与特殊函数及常数γ和π联系起来。

ABSTRACT

Many integrals in the classical table by Gradshteyn and Ryzhik can be evaluated in terms of the digamma function (= the logarithmic derivative of the gamma function). Some of them are presented here.

研究动机与目标

• 系统评估格拉德施泰因与里兹基积分表中涉及ψ(x)的定积分。
• 利用指数函数与有理函数，建立ψ(a)的新积分表示。
• 将这些积分与已知的特殊函数及常数（如欧拉-马歇罗尼常数γ和π）联系起来。
• 将结果推广至包含幂次、对数及β函数的积分族。
• 为未来利用不完全β函数评估含(1+x)⁻¹项的积分奠定基础。

提出的方法

• 利用Frullani型积分∫₀^∞(e⁻ᶻ − e⁻ˢᶻ)/z dz = ln s，推导出∫₀^∞[e⁻ˣ − (1+x)⁻ᵃ]/x dx = ψ(a)。
• 应用Γ′(a) = ∫₀^∞ e⁻ˢ sᵃ⁻¹ ln s ds的积分表示，并交换积分顺序以关联到ψ(a)。
• 利用恒等式∫₀^∞(e⁻ᶻ − e⁻ˢᶻ)/z dz = ln s，评估指数函数与有理函数之差的积分。
• 应用变量代换如w = −ln x，t = 1/(x+1)，以及u = xᵖ，将积分转化为已知形式。
• 利用β函数及其对数导数，评估含(1−x)ᵇ⁻¹或(1−x²)ⁿ⁻¹项的积分。
• 应用ψ(x)与Γ(x)的反射与倍乘公式，包括ψ(1/2) = −γ − 2ln 2和ψ(1) = −γ。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将ψ(a)表示为包含e⁻ˣ与(1+x)⁻ᵃ的定积分？
• RQ2 ∫₀^∞(e⁻ˣᵖ − e⁻ˣʲ)/x dx的解析求值结果如何用欧拉-马歇罗尼常数γ表示？
• RQ3 变量代换如何将含(1+x)⁻ᵃ的积分转化为与β函数相关的形式？
• RQ4 ∫₀¹ xᵃ⁻¹ ln(1−x) dx这类积分与ψ函数有何关联？
• RQ5 能否独立于b，对两参数积分族∫₀^∞(e⁻ˣᵃ − 1/(1+xᵇ))/x dx进行求值？其值是多少？

主要发现

• 当a > 0时，∫₀^∞[e⁻ˣ − (1+x)⁻ᵃ]/x dx = ψ(a)成立，为ψ函数提供了基本积分表示。
• 当a = 1时，有∫₀^∞(e⁻ˣ − 1/(1+x))/x dx = −γ，对应公式3.435.3。
• 推导出恒等式∫₀^∞(e⁻ˣᵖ − e⁻ˣʲ)/x dx = (p−q)/(pq) γ，当p = q = 2时，得∫₀^∞(e⁻ˣ² − e⁻ˣ²)/x dx = 0。
• 对于∫₀^∞(e⁻ˣᵃ − 1/(1+xᵇ))/x dx，结果为−γ/a，与b无关，如命题11.1所示。
• 推导出∫₀¹ ln x / √[ⁿ](1−x²ⁿ) dx = −π/8 ⋅ B(1/(2n), 1/(2n)) / (n² sin(π/(2n)))，与公式4.247.1一致。
• 积分∫₀^∞ x e⁻ˣ (1−e⁻²ˣ)ⁿ⁻¹ᐟ² dx的值为(π/2²ⁿ⁺²) ⋅ (2ⁿ choose n) ⋅ (2ln 2 + ∑ₖ₌₁ⁿ 1/k)，对应公式3.457.1。