[论文解读] The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 5: Some trigonometric integrals

Tewodros Amdeberhan, Luis A. Medina+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2007

Mathematical functions and polynomials参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文为形式为 $\int_0^{\pi/2} x^p \cos^n x\,dx$ 和 $\int_0^{\pi/2} x^p \sin^n x\,dx$ 的定三角积分提供了闭式表达式与严格证明，推广了 Gradshteyn 和 Ryzhik 中的条目 3.761.11 与 3.822.1。通过推导递推关系，并以多重 zeta 值和特殊函数表达结果，进一步扩展至涉及 $x^{-p}\cos^{2n+1}(x+b)$ 的无穷区间积分，采用参数微分与积分变换方法。

ABSTRACT

We present evalauations and provide proofs of definite integrals involving the function x^p cos^n x. These formulae are generalizations of 3.761.11 and 3.822.1, among others, in the classical table of integrals by I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik.

研究动机与目标

• 为 Gradshteyn 和 Ryzhik 中列出的三角积分提供严格证明与背景说明，特别是条目 3.761.11 和 3.822.1。
• 通过递推关系，推广 $\int_0^{\pi/2} x^p \cos^n x\,dx$ 与 $\int_0^{\pi/2} x^p \sin^n x\,dx$ 在 $n,p \in \mathbb{N}$ 下的求值。
• 通过参数微分与积分变换，将结果扩展至形式为 $\int_0^\infty x^{-p} \cos^{2n+1}(x+b)\,dx$ 的无穷区间积分。
• 推导涉及多重对数与三角积分的新求值，例如 $\int_0^\infty \int_0^\infty \frac{\log x \log y}{\sqrt{xy}} \cos(x+y)\,dx\,dy$。

提出的方法

• 通过分部积分与三角恒等式，推导 $c(n,p) = \int_0^{\pi/2} x^p \cos^n x\,dx$ 的递推关系。
• 使用 Wallis 公式、Beta 函数与 Gamma 函数恒等式，表达初始条件 $c(n,0)$、$c(n,1)$、$c(0,p)$ 与 $c(1,p)$。
• 应用 WZ 技术验证闭式表达式中涉及二项式系数与倒数幂之和的组合恒等式。
• 通过参数微分生成新积分，如含 $\log x$ 与 $\log y$ 的双重积分。
• 通过变量替换 $x = t^2$，将有限区间积分与 Frenel 型函数及广义三角积分联系起来。
• 利用傅里叶型积分与 Gamma 函数的已知结果，建立 $\int_0^\infty x^{-p} \cos^{2n+1}(x+b)\,dx$ 与 $\int_0^\infty x^{-p} \sin^{2n+1}(x+b)\,dx$ 的求值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对 $n,p \in \mathbb{N}$ 的定积分 $\int_0^{\pi/2} x^p \cos^n x\,dx$ 进行闭式求值？
• RQ2 控制 $c(n,p)$ 与 $s(n,p)$ 行为的递推关系是什么？它如何用于将高阶积分约化为初始条件？
• RQ3 广义积分 $\int_0^\infty x^{-p} \cos^{2n+1}(x+b)\,dx$ 与 $\int_0^\infty x^{-p} \sin^{2n+1}(x+b)\,dx$ 如何与特殊函数及多重 zeta 值关联？
• RQ4 对参数 $p$ 与 $b$ 微分积分表达式后，会涌现出哪些新求值？
• RQ5 能否使用所推导的方法对包含 $\cos(\|x\|^2)$ 与 $\log x_j$ 的高维积分进行求值？

主要发现

• 递推式 $c(n,p) = \frac{n-1}{n}c(n-2,p) - \frac{p(p-1)}{n^2}c(n,p-2)$ 允许将 $c(n,p)$ 对所有 $n,p \in \mathbb{N}$ 约化为初始值。
• 通过 Wallis 公式给出 $c(n,0)$ 与 $c(n,1)$ 的闭式表达：$c(2n,0) = \frac{\pi}{2^{2n+1}}\binom{2n}{n}$ 与 $c(2n+1,0) = \frac{2^{2n}}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$。
• 积分 $\int_0^\infty x^{-p} \cos^{2n+1}(x+b)\,dx$ 表示为有限和，包含 $\sin(\frac{\pi}{2}p - (2k+1)b)$ 与 $\Gamma(1-p)$ 项，系数来自二项式与倒数幂项。
• 在 $p = \frac{1}{2}$ 处微分主结果，得到 $\int_0^\infty \log x \cos^{2n+1}x^2\,dx = -\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2n+3}}(\pi + 2\gamma + 4\log 2)\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{n-k} \frac{1}{\sqrt{4k+2}} - \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2n+2}} \sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{n-k} \frac{=\log(2k+1)}{\sqrt{4k+2}}$。
• 通过参数积分与 Gamma 函数恒等式，推导出双重积分 $\int_0^\infty \int_0^\infty \frac{=\log x \log y}{\sqrt{xy}} \cos(x+y)\,dx\,dy = (\gamma + 2\log 2)\pi^2$。
• 对 $n$-维积分的推广得到 $\int_{\mathbb{R}_+^n} \cos(\|x\|^2) \prod_{j=1}^n \log x_j \, dV = \frac{(-1)^{\Delta_n} \pi^{n/2}}{2^{2n}} \times \begin{cases} \mathop{\rm Re} \psi_n & \text{若 } n \text{ 为偶数}, \\ \mathop{\rm Im} \psi_n & \text{若 } n \text{ 为奇数}, \end{cases}$ 其中 $\psi_n = (\gamma + 2\log 2 + \frac{\pi i}{2})^n e^{\pi i n/4}$。