[论文解读] The integrated density of states and its absolute continuity for magnetic Schr\"odinger operators with unbounded random potentials

Thomas Hupfer, Hajo Leschke+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 2

一句话总结

本论文在常数磁场下，针对多维欧几里得空间中具有无界遍历随机势的磁薛定谔算符，建立了积分态密度（IDS）的存在性及其几乎必然非随机性。通过威格纳估计证明了IDS的绝对连续性，推导出其导数的显式上界，并建立了诺伊曼边界条件下对应的双磁不等式。

ABSTRACT

The object of the present study is the integrated density of states of a quantum particle in multi-dimensional Euclidean space which is characterized by a Schrödinger operator with magnetic field and unbounded random potential. In case of a constant magnetic field and an ergodic random potential, we prove the existence of the integrated density of states as the infinite-volume limit of suitable spatial eigenvalue concentrations of finite-volume operators as well as its independence of the chosen boundary conditions and its almost-sure nonrandomness. Moreover, the integrated density of states is expressed in terms of the spatially localized spectral family of the infinite-volume Schrödinger operator. Finally, a Wegner estimate is derived for rather general magnetic fields and certain random potentials admitting a so-called one-parameter decomposition. The estimate implies the absolute continuity of the integrated density of states and provides explicit upper bounds on its derivative, the density of states. Besides we show a diamagnetic inequality for Schrödinger operators with Neumann boundary conditions.

研究动机与目标

• 建立具有无界随机势的磁薛定谔算符在无限体积极限下的积分态密度（IDS）的存在性。
• 在遍历性假设下，证明IDS与边界条件无关且几乎必然非随机。
• 以无限体积算符的局域谱族表达IDS。
• 针对一般磁场所及具有单参数分解的随机势，推导威格纳估计。
• 证明IDS的绝对连续性，并提供其导数的显式上界。

提出的方法

• 利用有限体积算符的空间本征值浓度的无限体积极限来定义IDS。
• 应用谱论及无限体积薛定谔算符的局域谱族来表征IDS。
• 通过随机势的单参数分解推导一般威格纳估计。
• 为具有诺伊曼边界条件的薛定谔算符建立双磁不等式。
• 利用遍历性与谱平均技术，证明IDS的几乎必然非随机性。
• 应用泛函分析方法处理多维空间中无界随机势与磁场的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有无界随机势的磁薛定谔算符的积分态密度是否作为无限体积极限存在？
• RQ2 在遍历性假设下，积分态密度是否与边界条件无关且几乎必然非随机？
• RQ3 对于具有单参数分解的一般磁场与随机势，能否推导出威格纳估计？
• RQ4 威格纳估计是否蕴含积分态密度的绝对连续性？
• RQ5 IDS与无限体积算符的局域谱族之间存在何种关系？

主要发现

• 积分态密度作为有限体积算符的空间本征值浓度的无限体积极限而存在。
• 在遍历性假设下，IDS与边界条件的选择无关，且几乎必然非随机。
• IDS以无限体积薛定谔算符的空间局域谱族表达。
• 针对可进行单参数分解的一般磁场与随机势，推导出威格纳估计。
• 威格纳估计蕴含IDS的绝对连续性，并提供其导数的显式上界。
• 为具有诺伊曼边界条件的薛定谔算符证明了双磁不等式。