[论文解读] The intermediate disorder regime for a directed polymer model on a hierarchical lattice

Tom Alberts, Jeremy Clark+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文研究了在分支数为 $b$、段数为 $s$ 的分形钻石晶格上，定向聚合物模型中的中间无序区域。当 $b < s$ 时，证明了在缩放 $\beta_n = \hat{\beta}(b/s)^{n/2}$ 下，归一化配分函数弱收敛于非退化极限；当 $b = s$ 时，识别出一个临界值 $\kappa_b$，使得当 $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ 时配分函数的方差趋于零，否则发散，并在前一种情况下证明了中心极限定理。

ABSTRACT

We study a directed polymer model defined on a hierarchical diamond lattice, where the lattice is constructed recursively through a recipe depending on a branching number $b\in \mathbb{N}$ and a segment number $s\in \mathbb{N}$. When $b\leq s$ previous work [27] has established that the model exhibits strong disorder for all positive values of the inverse temperature $β$, and thus weak disorder reigns only for $β=0$ (infinite temperature). Our focus is on the so-called intermediate disorder regime in which the inverse temperature $β\equiv β_{n}$ vanishes at an appropriate rate as the size $n$ of the system grows. Our analysis requires separate treatment for the cases $b0$, the normalized partition function of the system converges weakly as $n o \infty$ to a distribution $\mathbf{L}(\widehatβ)$ depending continuously on the parameter $\widehatβ$. In the case $b=s$ we find a critical point in the behavior of the model when the inverse temperature is scaled as $β_{n}=\widehatβ/n$; for an explicitly computable critical value $κ_{b} &gt; 0$ the variance of the normalized partition function converges to zero with large $n$ when $\widehatβ\leq κ_{b}$ and grows without bound when $\widehatβ&gt;κ_{b}$. Finally, we prove a central limit theorem for the normalized partition function when $\widehatβ\leq κ_{b}$.

研究动机与目标

• 分析在系统尺寸 $n$ 与逆温度 $\beta_n$ 相关的缩放下，分形钻石晶格上定向聚合物模型的中间无序区域。
• 确定在 $b < s$ 和 $b = s$ 情况下，$\beta_n$ 不同缩放下归一化配分函数的行为。
• 为 $b = s$ 情况下识别出一个临界阈值 $\kappa_b$，用以区分归一化配分函数方差趋于零与发散的区域。
• 在 $b = s$ 情况下，当 $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ 时，建立归一化配分函数的中心极限定理。

提出的方法

• 通过分支数 $b$ 和段数 $s$ 的递归构造分形钻石晶格，以建模聚合物路径。
• 通过随系统尺寸 $n$ 衰减的逆温度 $\beta_n$ 应用吉布斯重加权，以进入中间无序区域。
• 通过递归映射 $\widetilde{M}_n^m(0)$ 及相关函数 $r_m^{(n)}$ 分析归一化配分函数 $\widetilde{W}_n(\beta_n; D_n)$ 及其方差。
• 使用泰勒展开和渐近分析，近似 $r_n^{(n)}$ 的行为，并推导出主导项 $1 - r_n \sim \frac{b+1}{3(b-1)}\frac{\log n}{n}$。
• 利用黎曼和近似和误差项的界，推导 $\widetilde{M}_n^n(0)$ 的渐近行为，该量控制了配分函数的方差。
• 对反切函数应用二阶泰勒展开，将 $r_m$ 的递归动态与 $\beta_n$ 的缩放联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $b < s$ 时，归一化配分函数在中间无序区域的行为如何？
• RQ2 $b = s$ 时，区分归一化配分函数方差趋于零与发散的临界阈值 $\kappa_b$ 是什么？
• RQ3 当 $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ 时，$b = s$ 情况下归一化配分函数是否满足中心极限定理？
• RQ4 在 $b = s$ 情况下，归一化配分函数的方差的精确渐近缩放是什么？

主要发现

• 当 $b < s$ 时，若 $\beta_n = \hat{\beta}(b/s)^{n/2}$ 且 $\hat{\beta} > 0$，则归一化配分函数弱收敛于非退化极限 $\mathbf{L}(\hat{\beta})$。
• 当 $b = s$ 时，若 $\hat{\beta} \leq \kappa_b$，则归一化配分函数的方差随 $n \to \infty$ 而趋于零；若 $\hat{\beta} > \kappa_b$，则方差发散，其中 $\kappa_b > 0$ 可显式计算。
• 在 $b = s$ 情况下，当 $\hat{\beta} \leq \kappa_b$ 时，归一化配分函数满足中心极限定理。
• $\widetilde{M}_n^n(0)$ 的渐近行为为 $\widetilde{M}_n^n(0) = \frac{6}{b+1}\frac{n}{\log n} + O\left(\frac{n}{\log^2 n}\right)$，该表达式控制了 $b = s$ 情况下的方差。
• 临界阈值 $\kappa_b$ 由系统的递归动态推导得出，且在弱矩假设下与环境分布无关。
• 分析揭示了 $1 - r_n \sim \frac{b+1}{3(b-1)}\frac{\log n}{n}$，该关系支撑了方差缩放以及临界 $\kappa_b$ 的存在性。