[论文解读] The Interplay Between Domination and Separation in Graphs

Dipayan Chakraborty, Annegret K. Wagler|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2026

Advanced Graph Theory Research被引用 0

一句话总结

本文研究图中的四种分离性（定位、闭分离、开分离、全分离），探讨它们与支配和全支配（X-code）的关系，证明最小分离集的NP-hard性，并分析图互补下的行为。

ABSTRACT

In the literature, several identification problems in graphs have been studied, of which, the most widely studied are the ones based on dominating sets as a tool of identification. Hereby, the objective is to separate any two vertices of a graph by their unique neighborhoods in a suitably chosen dominating or total-dominating set. Such a (total-)dominating set endowed with a separation property is often referred to as a code of the graph. In this paper, we study the four separation properties location, closed-separation, open-separation and full-separation. We address the complexity of finding minimum separating sets in a graph and study the interplay of these separation properties with several codes (establishing a particularly close relation between separation and codes based on domination) as well as the interplay of separation and complementation (showing that location and full-separation are the same on a graph and its complement, whereas closed-separation in a graph corresponds to open-separation in its complement).

研究动机与目标

• 在使用支配集或全支配集来分离顶点邻域的识别问题上提供动机。
• 研究四种分离性（定位、闭分离、开分离、全分离）及其最小尺寸分离集。
• 考察分离性如何与支配和全支配码（LD、LTD、OD、OTD、ID、ITD、FD、FTD）相互作用。
• 探究分离性与图的互补之间的关系，并在S-数与SD-/STD-数之间建立界限。

提出的方法

• 定义分离和支配的概念（L-set、O-set、I-set、F-set；D-set、TD-set）。
• 通过从Test Cover的归约，证明S∈{L、O、I、F}的Min S-Set NP-hard。
• 建立界限：gamma_SD(G)位于gamma^S(G)与gamma^S(G)+1之间；S∈{O、F}时gamma_STD的上/下界。
• 通过已知与新的结果，分析S-数与X-数之间的关系，包括在特定图族上的例子。
• 研究图的互补对S-数和X-数的影响并给出推论。

实验结果

研究问题

• RQ1 寻找S∈{L、O、I、F}的最小S-Set的计算复杂性是多少？
• RQ2 这四种分离性如何与支配/全支配码（LD、LTD、OD、OTD、ID、ITD、FD、FTD）相关？
• RQ3 在不同图中，S-数与SD-/STD-数之间的界限如何？
• RQ4 图的互补如何影响分离性及其相关码？
• RQ5 是否能找到紧密的例子来说明已建立的界限和等式？

主要发现

• 最小S-Set对于所有S∈{L、O、I、F}均为NP完全。
• 对于任意S∈{L、O、I、F}，gamma_SD(G)位于gamma^S(G)与gamma^S(G)+1之间。
• 对于S∈{O、F}，gamma_STD(G)位于gamma^S(G)与gamma^S(G)+1之间；对于S∈{L、I}，gamma_STD(G)位于gamma^S(G)与2·gamma^S(G)之间。
• 定位与全分离在图及其补图上完全相同；图的闭分离在其补图上对应于开分离。
• 论文对薄头蜘蛛和厚头无头蜘蛛等特殊图族给出详细界限和精确值，展示了S-数与X-数之间的关系。
• 通过构造的工具与归约展示出S-数与X-数之间的细微关系。