[论文解读] The Interpolation Theory of Radial Basis Functions

Brad Baxter|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 16被引用 88

一句话总结

该论文建立了在 $1 < p < 2$ 条件下径向基函数（RBF）插值的存 在性与唯一性，证明了当 $p > 2$ 时由于插值矩阵奇异而导致插值失败，并提出了一种利用托普利茨结构与傅里叶分析的预条件共轭梯度法，该方法的收敛步数与中心数量无关，从而在规则网格上实现了 $O(nackepsilon n)$ 的求解复杂度。

ABSTRACT

In this dissertation, it is first shown that, when the radial basis function is a $p$-norm and $1 &lt; p &lt; 2$, interpolation is always possible when the points are all different and there are at least two of them. We then show that interpolation is not always possible when $p &gt; 2$. Specifically, for every $p &gt; 2$, we construct a set of different points in some $\Rd$ for which the interpolation matrix is singular. The greater part of this work investigates the sensitivity of radial basis function interpolants to changes in the function values at the interpolation points. Our early results show that it is possible to recast the work of Ball, Narcowich and Ward in the language of distributional Fourier transforms in an elegant way. We then use this language to study the interpolation matrices generated by subsets of regular grids. In particular, we are able to extend the classical theory of Toeplitz operators to calculate sharp bounds on the spectra of such matrices. Applying our understanding of these spectra, we construct preconditioners for the conjugate gradient solution of the interpolation equations. Our main result is that the number of steps required to achieve solution of the linear system to within a required tolerance can be independent of the number of interpolation points. The Toeplitz structure allows us to use fast Fourier transform techniques, which imp lies that the total number of operations is a multiple of $n \log n$, where $n$ is the number of interpolation points. Finally, we use some of our methods to study the behaviour of the multiquadric when its shape parameter increases to infinity. We find a surprising link with the {\it sinus cardinalis} or {\it sinc} function of Whittaker. Consequently, it can be highly useful to use a large shape parameter when approximating band-limited functions.

研究动机与目标

• 建立多变量设置下任意 $d \geq 2$ 的径向基函数插值的理论基础。
• 解决长期存在的问题：使用 $p$-范数径向基函数时，插值在何时可能实现，特别是区分 $1 < p < 2$ 与 $p > 2$ 的情况。
• 分析 RBF 插值的敏感性与条件性，尤其关注大形状参数下导致的病态系统。
• 利用托普利茨矩阵的谱性质与快速傅里叶变换，为大规模 RBF 系统开发高效的迭代求解器。
• 探讨当形状参数趋于无穷时，多二次 RBF 的渐近行为，揭示其与采样函数（sinc 函数）的联系。

提出的方法

• 通过分布傅里叶变换与条件正定函数，将 Schoenberg 的 $p=2$ 理论推广至 $1 < p < 2$。
• 构造了 $p > 2$ 时插值矩阵奇异的显式反例，证明插值并非总是可行。
• 应用托普利茨算子与波里亚频率函数理论，对规则网格上的距离矩阵谱进行有界。
• 利用傅里叶分析与泊松求和公式推导出精确的谱界，从而设计出有效的预条件子。
• 利用快速傅里叶变换（FFTs）实现预条件共轭梯度法，复杂度为 $O(n\log n)$。
• 分析当形状参数 $c \to \infty$ 时，多二次 RBF 的极限，证明其收敛于 Whittaker 卡尔丹函数（sinc 函数）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $p$-范数，当插值点互异时，径向基函数插值总是可行？
• RQ2 形状参数在多二次 RBF 插值的条件性与精度中起什么作用？
• RQ3 能否对共轭梯度法进行预条件，使得迭代次数与中心数量无关？
• RQ4 RBF 插值矩阵在规则网格上的谱行为如何？是否可被用于快速求解方法？
• RQ5 当形状参数增大时，多二次 RBF 的渐近行为是什么？其与带限函数逼近有何关联？

主要发现

• 使用 $p$-范数径向基函数的插值在 $1 < p < 2$ 时总是可行，但在 $p > 2$ 时失败，通过构造奇异插值矩阵的显式反例得到证明。
• 当形状参数 $c \to \infty$ 时，规则网格上插值矩阵的最小特征值以指数速度收敛于零，表明存在严重的病态性。
• 使用所提出的预条件子后，求解 RBF 系统至给定精度所需的共轭梯度迭代次数与中心数 $n$ 无关。
• 由于在预条件共轭梯度算法中使用了 FFTs，求解系统的总计算成本为 $O(n\log n)$。
• 当形状参数 $c$ 较大时，多二次 RBF 收敛于 Whittaker 卡尔丹函数（sinc 函数），表明其对带限函数具有高精度。
• 对于具有最小间距 $\delta$ 的任意中心，插值矩阵逆的范数上界，推测不超过间距为 $\delta$ 的规则网格对应的上界。