[论文解读] The interrelation of the special double confluent Heun equation and the equation of RSJ model of Josephson junction revisited

S. I. Tertychniy|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2018

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文建立了在正弦偏置下阻尼过大的约瑟夫森结的RSJ模型解与特殊双合流合流超几何方程（sDCHE）之间的显式数学映射。通过利用复平面上去掉原点区域上线性算子的全纯本征函数并分析其单值性性质，作者推导出单值变换的矩阵表示，揭示了RSJ模型中相位锁定行为与sDCHE谱性质之间的直接联系。

ABSTRACT

The explicit formulas for the maps interconnecting the sets of solutions of the special double confluent Heun equation and the equation of the RSJ model of overdamped Josephson junction in case of shifted sinusoidal bias are given. The approach these are based upon leans on the extensive application of eigenfunctions of certain linear operator acting on functions holomorphic on the universal cover of the punctured complex plane. The functional equation the eigenfunctions noted obey is derived, the matrix form of the monodromy transformation they infer is given.

研究动机与目标

• 建立约瑟夫森结RSJ模型与特殊双合流合流超几何方程（sDCHE）之间严格的数学对应关系。
• 分析作用于复平面上去掉原点区域上全纯函数的特定线性算子的函数性质与单值性性质。
• 推导sDCHE解的单值变换的显式矩阵表示，从而实现对RSJ模型中相位锁定行为的研究。
• 基于单值矩阵中非对角元素的消失，提出一种新的约瑟夫森结相位锁定判据。

提出的方法

• 通过将相位变量 φ(t) 映射为 Φ(z) = exp(iφ(t))，其中 z = exp(iωt)，对RSJ方程进行复化，将动力学嵌入复平面中的单位圆上。
• 推导出Φ(z)的Riccati型微分方程（式2），随后将其转化为等价于sDCHE的二阶线性常微分方程。
• 引入一个作用于全纯函数的线性算子LC，其定义涉及微分与变换 z ↦ z⁻¹，其本征函数在分析中起核心作用。
• 将LC的本征函数识别为sDCHE的解，且该算子保持在 z ↦ z⁻¹ 变换下不变的定义域。
• 通过围绕 z = 0 的解析延拓构造单值变换，其表示为作用于sDCHE解基的2×2矩阵（式44）。
• 以sDCHE解在C*的万有覆盖上 z = -1 的原像处本征函数取值的显式形式，推导出单值矩阵 M。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将正弦偏置下阻尼过大的约瑟夫森结的RSJ模型解与特殊双合流合流超几何方程（sDCHE）的解联系起来？
• RQ2 算子LC的本征函数具有何种函数性质与对称性质，它们如何与sDCHE相关联？
• RQ3 sDCHE解的单值变换的显式形式是什么，它如何编码诸如相位锁定等动力学行为？
• RQ4 能否通过sDCHE的谱性质，特别是单值矩阵，来表征RSJ模型中的相位锁定行为？

主要发现

• sDCHE的单值矩阵 M 以矩阵形式显式推导得出（式44），其对角元素为实数且相等，非对角元素为纯虚数。
• 单值矩阵的行列式恒为1，与二阶线性常微分方程中Wronskian的守恒性一致。
• 当且仅当单值矩阵的一个非对角元素为零时，单值矩阵的特征值重合，从而为RSJ模型中的相位锁定提供了新判据。
• RSJ模型中的相位锁定行为对应于单值矩阵特征值的简并，这与矩阵表示中非对角项的消失直接相关。
• 推导出算子LC本征函数所满足的函数方程，并完全刻画了其在C*的黎曼曲面上的解析延拓性质。
• RSJ模型中 φ(t) ↦ φ(t + 2π/ω) 的变换对应于sDCHE解上的单值作用，建立了时间演化与解析延拓之间的动力学等价性。