[论文解读] The Intrinsic Flat Distance between Riemannian Manifolds and other Integral Current Spaces

Christina Sormani, Stefan Wenger|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文通过将黎曼流形和积分电流空间等距嵌入到一个共同的度量空间中，测量其平坦距离，再对所有此类嵌入取下确界，从而引入了黎曼流形与积分电流空间之间的内在平坦距离。关键贡献在于证明：两个紧致定向黎曼流形的内在平坦距离为零，当且仅当它们是等距的；并确立了体积和直径有界的流形序列收敛于可数个 $χ^{m}$-可求长的极限空间。

ABSTRACT

Inspired by the Gromov-Hausdorff distance, we define the intrinsic flat distance between oriented $m$ dimensional Riemannian manifolds with boundary by isometrically embedding the manifolds into a common metric space, measuring the flat distance between them and taking an infimum over all isometric embeddings and all common metric spaces. This is made rigorous by applying Ambrosio-Kirchheim's extension of Federer-Fleming's notion of integral currents to arbitrary metric spaces. We prove the intrinsic flat distance between two compact oriented Riemannian manifolds is zero iff they have an orientation preserving isometry between them. Using the theory of Ambrosio-Kirchheim, we study converging sequences of manifolds and their limits, which are in a class of metric spaces that we call integral current spaces. We describe the properties of such spaces including the fact that they are countably $\mathcal{H}^m$ rectifiable spaces and present numerous examples.

研究动机与目标

• 定义一种新的黎曼流形与积分电流空间之间的内在距离概念，该概念推广了平坦收敛。
• 确立在格罗莫夫-豪斯多夫收敛失效时，流形序列以这种新方式收敛的条件。
• 证明两个紧致定向黎曼流形之间的内在平坦距离为零，当且仅当它们是等距的。
• 将内在平坦收敛序列的极限特征化为可数个 $χ^{m}$-可求长的度量空间。
• 展示内在平坦收敛保持可求长性，并允许极限中出现奇点或坍塌结构，即使标量曲率为正。

提出的方法

• 通过将流形等距嵌入到共同的度量空间中，并对所有此类嵌入和空间取下确界，来定义内在平坦距离。
• 应用安布罗西奥-基尔赫海姆关于度量空间上积分电流的理论，将积分电流空间定义为黎曼流形的极限。
• 利用共同度量空间中电流之间的平坦距离来度量流形之间的距离，利用质量范数 $ØØ$。
• 证明内在平坦距离中的下确界可通过涉及填充电流和体积估计的构造实现。
• 运用利普希茨和光滑收敛定理，将内在平坦收敛与极限中保持电流的等距映射联系起来。
• 使用紧致性定理（例如温格的定理）证明：体积和直径有界的序列具有内在平坦收敛的子序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为黎曼流形定义一种新的内在距离，使其在格罗莫夫-豪斯多夫收敛失效时仍能捕捉弱收敛？
• RQ2 当流形序列具有正标量曲率时，在何种条件下它们会以弱意义收敛到极限空间？
• RQ3 在内在平坦收敛下，极限空间的几何与测度论性质是什么？
• RQ4 内在平坦距离为零是否当且仅当两个流形是等距的？
• RQ5 内在平坦极限是否可能非紧致或具有无限质量，以及何种条件可防止这种情况发生？

主要发现

• 两个紧致定向黎曼流形之间的内在平坦距离为零，当且仅当存在一个保持定向的等距映射使它们彼此等距。
• 体积和直径一致有界的黎曼流形序列，在内在平坦意义下收敛于一个可数个 $χ^{m}$-可求长的度量空间。
• 内在平坦收敛序列的极限空间是一个积分电流空间，其为可数个 $χ^{m}$-可求长的，且质量有限。
• 存在内在平坦距离中的柯西序列，其不收敛于有限质量的积分电流空间，表明积分电流空间的全体并非完备。
• 内在平坦极限可能表现出抵消、坍塌或加倍现象，且不必是预紧的或测地的。
• 伊尔曼宁的例子显示，一列具有正标量曲率的3-球面在内在平坦意义下收敛于标准2-球面，尽管其在格罗莫夫-豪斯多夫意义下不收敛。