[论文解读] The inverse integrating factor and the Poincaré map

Isaac A. García, Héctor Giacomini+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2007

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 10被引用 7

一句话总结

该论文在平面解析微分系统中建立了逆积分因子与Poincaré回传映射之间的直接联系，表明极限环的重数等于其上逆积分因子消失重数。此外，该文证明了在双曲鞍点处的同宿环的闭合周期性由逆积分因子的消失重数决定，即使在非代数情形（如可线性化鞍点）下也成立。

ABSTRACT

This work is concerned with planar real analytic differential systems with an analytic inverse integrating factor defined in a neighborhood of a regular orbit. We show that the inverse integrating factor defines an ordinary differential equation for the transition map along the orbit. When the regular orbit is a limit cycle, we can determine its associated Poincaré return map in terms of the inverse integrating factor. In particular, we show that the multiplicity of a limit cycle coincides with the vanishing multiplicity of an inverse integrating factor over it. We also apply this result to study the homoclinic loop bifurcation. We only consider homoclinic loops whose critical point is a hyperbolic saddle and whose Poincaré return map is not the identity. A local analysis of the inverse integrating factor in a neighborhood of the saddle allows us to determine the cyclicity of this polycycle in terms of the vanishing multiplicity of an inverse integrating factor over it. Our result also applies in the particular case in which the saddle of the homoclinic loop is linearizable, that is, the case in which a bound for the cyclicity of this graphic cannot be determined through an algebraic method.

研究动机与目标

• 在平面解析系统中建立逆积分因子与Poincaré回传映射之间的联系。
• 以逆积分因子的消失重数来确定同宿环的周期性。
• 分析经典代数方法失效的情形，特别是当鞍点可线性化时。
• 为具有非恒等Poincaré回传映射的系统提供计算周期性的方法。
• 将逆积分因子理论的应用范围扩展至极限环与同宿环分岔分析。

提出的方法

• 将系统转换为沿正则轨道的曲线坐标系(s, n)，其中s为弧长参数，n为法向距离。
• 推导出控制轨道附近流动的常微分方程 dn/ds = F(s,n)。
• 使用特征线法将逆积分因子V在曲线坐标系中表示为˜V(s,n)，并满足一个一阶偏微分方程。
• 表明Poincaré映射Π(n₀) = Ψ(L; n₀)由F(s,n)的流动决定，并通过方程(6)中的PDE将其与˜V(s,n)联系起来。
• 通过证明极限环的重数等于其上逆积分因子的消失重数，将理论应用于极限环。
• 通过研究双曲鞍点附近逆积分因子的局部行为来分析同宿环，并将其消失重数与环的周期性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面解析系统中，逆积分因子如何决定正则轨道上的Poincaré回传映射？
• RQ2 逆积分因子的消失重数与极限环重数之间存在何种关系？
• RQ3 当鞍点为双曲且回传映射非恒等时，能否通过逆积分因子的消失重数确定同宿环的周期性？
• RQ4 当鞍点可线性化时，经典代数方法失效，该理论如何适用？
• RQ5 当逆积分因子为解析但非多项式时，同宿环的周期性如何？其与分岔的关系是什么？

主要发现

• 极限环的重数等于其上逆积分因子的消失重数。
• 对于具有非恒等Poincaré回传映射的双曲鞍点同宿环，其周期性等于逆积分因子在环上的消失重数。
• 在可线性化鞍点情形下，即使经典代数方法失效，周期性仍由逆积分因子的消失重数决定。
• 对于系统(21)，当m = 1时，同宿环的周期性为2；若αₘ ≠ 0，则周期性为2m−1；若αₘ = 0，则周期性为2m，其中m为消失重数。
• 在系统(22)中，该系统为哈密顿系统且具有非恒等回传映射，逆积分因子fⁿ的消失重数未定义，周期性无界——可从该环分岔出任意多条极限环。
• 存在特定形式的第一积分H(x,y)可证实逆积分因子为多项式且全局定义，从而支持周期性结果。