[论文解读] The inverse Lindley distribution: A stress-strength reliability model

Vikas Kumar Sharma, Sanjay Kumar Singh+2 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文提出逆Lindley分布作为一种重尾、倒 bathtub型失效率模型，适用于生存数据，特别是应力-强度可靠性分析。研究开发了频率学派与贝叶斯估计方法来估计可靠性参数 $ R = P(X > Y) $，并通过模拟和真实数据表明，在信息先验和熵损失下，贝叶斯估计量在均方误差更低方面优于其他方法。

ABSTRACT

In this article, we proposed an inverse Lindley distribution and studied its fundamental properties such as quantiles, mode, stochastic ordering and entropy measure. The proposed distribution is observed to be a heavy-tailed distribution and has a upside-down bathtub shape for its failure rate. Further, we proposed its applicability as a stress-strength reliability model for survival data analysis. The estimation of stress-strength parameters and $R=P[X>Y]$, the stress-strength reliability has been approached by both classical and Bayesian paradigms. Under Bayesian set-up, non-informative (Jeffrey) and informative (gamma) priors are considered under a symmetric (squared error) and a asymmetric (entropy) loss functions, and a Lindley-approximation technique is used for Bayesian computation. The proposed estimators are compared in terms of their mean squared errors through a simulation study. Two real data sets representing survival of Head and Neck cancer patients are fitted using the inverse Lindley distribution and used to estimate the stress-strength parameters and reliability.

研究动机与目标

• 提出一种具有倒 bathtub型失效率的新型逆Lindley分布，用于建模寿命数据。
• 研究其统计特性，包括分位数、众数、随机序关系及熵。
• 在经典与贝叶斯框架下，开发应力-强度可靠性参数 $ R = P(X > Y) $ 的估计方法。
• 通过模拟与真实数据应用，比较最大似然估计与贝叶斯估计量的性能。

提出的方法

• 逆Lindley分布被定义为 $ X = 1/Y $ 的分布，其中 $ Y \sim \text{Lindley}(\theta) $，其概率密度函数为 $ f(x;\theta) = \frac{\theta^2}{1+\theta} \cdot \frac{1+x}{x^3} e^{-\theta/x} $，$ x>0 $，$ \theta>0 $。
• 对于独立的具有参数 $ \theta_1 $ 和 $ \theta_2 $ 的逆Lindley随机变量，应力-强度可靠性 $ R = P(X > Y) $ 已推导出闭式表达式。
• 采用最大似然估计（MLE）进行参数与 $ R $ 的估计，并利用费雪信息矩阵构建渐近置信区间。
• 在非信息先验（Jeffrey's）与信息先验（伽马）下，使用Lindley近似计算贝叶斯估计量，损失函数包括平方误差与熵损失。
• 通过模拟研究比较不同样本大小与参数值下 MLE 与贝叶斯估计量的均方误差（MSE）。
• 将两个真实生存数据集（头颈部癌）拟合以验证模型并估计 $ R $。

实验结果

研究问题

• RQ1 逆Lindley分布能否有效建模具有倒 bathtub型失效率的寿命数据？
• RQ2 在不同先验与损失函数下，$ R = P(X > Y) $ 的最大似然估计与贝叶斯估计在均方误差方面如何比较？
• RQ3 使用信息先验与熵损失是否能提高估计精度，相较于非信息先验与平方误差损失？
• RQ4 对于真实生存数据（如头颈部癌生存数据），逆Lindley分布是否优于现有模型？

主要发现

• 逆Lindley分布表现出倒 bathtub型的失效率，适用于具有非单调失效强度的失效数据建模。
• 应力-强度可靠性 $ R = P(X > Y) $ 的闭式表达式已从逆Lindley分布的累积分布函数中推导得出，支持精确计算。
• 在伽马先验与熵损失函数下，贝叶斯估计量的均方误差低于在Jeffrey先验与平方误差损失下的估计量。
• 模拟结果表明，使用信息先验的贝叶斯估计量在均方误差方面优于 MLE 与非信息先验贝叶斯估计量。
• 该模型对两个真实生存数据集（包括头颈部癌患者）提供了良好的拟合，支持其在医学与工程可靠性分析中的实际应用。