[论文解读] The inverse problem for Hamilton-Jacobi equations and semiconcave envelopes

Carlos Esteve, Enrique Zuazua|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 17被引用 15

一句话总结

本文通过刻画在最终时刻 T 时产生给定目标函数的所有初始条件，解决了哈密顿-雅可比方程的逆问题。利用后向粘性解与拟凹包络，通过一个微分不等式建立了可达性的必要且充分条件，并将任意目标在可达函数集上的投影识别为完全非线性障碍问题的解，从而推广了凹包络的概念。

ABSTRACT

We study the inverse problem, or inverse design problem, for a time-evolution Hamilton-Jacobi equation. More precisely, given a target function $u_T$ and a time horizon $T>0$, we aim to construct all the initial conditions for which the viscosity solution coincides with $u_T$ at time $T$. As it is common in this kind of nonlinear equations, the target might not be reachable. We first study the existence of at least one initial condition leading the system to the given target. The natural candidate, which indeed allows determining the reachability of $u_T$, is the one obtained by reversing the direction of time in the equation, considering $u_T$ as terminal condition. In this case, we use the notion of backward viscosity solution, that provides existence and uniqueness for the terminal-value problem. We also give an equivalent reachability condition based on a differential inequality, that relates the reachability of the target with its semiconcavity properties. Then, for the case when $u_T$ is reachable, we construct the set of all initial conditions for which the solution coincides with $u_T$ at time $T$. Note that in general, such initial conditions are not unique. Finally, for the case when the target $u_T$ is not necessarily reachable, we study the projection of $u_T$ on the set of reachable targets, obtained by solving the problem backward and then forward in time. This projection is then identified with the solution of a fully nonlinear obstacle problem, and can be interpreted as the semiconcave envelope of $u_T$, i.e. the smallest reachable target bounded from below by $u_T$.

研究动机与目标

• 通过哈密顿-雅可比方程的粘性解，确定所有在时间 T 生成给定目标函数 u_T 的初始条件。
• 基于 u_T 的拟凹性性质，建立其可达性的必要且充分条件。
• 构建所有演化至 u_T 的初始条件集合，并识别其中最小的初始条件。
• 将任意利普希茨目标函数投影到可达目标集合上的特征刻画为完全非线性障碍问题的解。
• 在哈密顿-雅可比动力学背景下，将凹包络的概念推广为拟凹包络。

提出的方法

• 通过后向粘性解反向演化时间，为给定终端目标 u_T 确定候选初始条件。
• 将微分不等式 (7.1) 作为可达性判据，将其与 u_T 的拟凹性联系起来。
• 将最小初始条件构造为 u_0 = S_T^− u_T，其中 S_T^− 表示后向演化算子。
• 利用 u_T 的几何性质，识别所有容许初始条件一致的集合 X_T(u_T)。
• 将 u_T 到可达集合的投影定义为 S_T^+ ∘ S_T^− u_T，证明其为完全非线性障碍问题的解。
• 证明该投影是下界为 u_T 的最小可达函数，并将其识别为 u_T 的拟凹包络。

实验结果

研究问题

• RQ1 目标函数 u_T 需满足何种条件，才能作为哈密顿-雅可比方程在时间 T 的粘性解被实现？
• RQ2 如何构造在哈密顿-雅可比流下演化至给定目标 u_T 的所有初始条件？
• RQ3 所有演化至同一终端状态 u_T 的初始条件集合具有怎样的几何与解析结构？
• RQ4 如何将不可达的目标 u_T 投影到可达目标集合上，以及何种方程刻画了该投影？
• RQ5 在后向-前向演化下，u_T 的投影是否等价于求解一个完全非线性障碍问题？若是，该方程的形式为何？

主要发现

• 当且仅当目标函数 u_T 满足微分不等式 (7.1) 时，其为可达的，该不等式编码了其关于哈密顿函数 Hessian 矩阵的拟凹性。
• 演化至 u_T 的最小初始条件为 S_T^− u_T，即从终端数据 u_T 出发的后向粘性解。
• 所有演化至 u_T 的初始条件集合由其在集合 X_T(u_T) 上的一致性所刻画，该集合可不依赖于 u_T 的可微点信息而通过几何方式识别。
• 复合算子 S_T^+ ∘ S_T^− u_T 给出了 u_T 到可达目标集合的投影，该投影是下界为 u_T 的最小可达函数。
• 对于二次哈密顿函数与一维情形，该投影求解完全非线性障碍问题 (7.2)，其形式即为 u_T 的拟凹包络。
• 拟凹包络推广了凹包络，并在哈密顿-雅可比逆问题的背景下自然地作为非线性障碍问题的解出现。