[论文解读] The inviscid limit to a contact discontinuity for the compressible Navier-Stokes-Fourier system using the relative entropy method

Alexis Vasseur, Yi Wang|arXiv (Cornell University)|May 28, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用 3

一句话总结

该论文利用相对熵方法建立了可压缩 Navier-Stokes-Fourier 系统向接触间断的无粘极限，证明了当热导率 $\kappa \to 0$ 时收敛速率为 $\kappa^{1/2}$，且对间断或初值无小量假设。结果表明在此情形下热导率主导耗散，这是首次基于相对熵方法实现对双曲系统中不连续解的收敛结果。

ABSTRACT

We consider the zero heat conductivity limit to a contact discontinuity for the mono-dimensional full compressible Navier-Stokes-Fourier system. The method is based on the relative entropy method, and do not assume any smallness conditions on the discontinuity, nor on the $BV$ norm of the initial data. It is proved that for any viscosity $ν\geq0$, the solution of the compressible Navier-Stokes-Fourier system (with well prepared initial value) converges, when the heat conductivity $κ$ tends to zero, to the contact discontinuity solution to the corresponding Euler system. We obtain the decay rate $κ^{\frac12}$. It implies that the heat conductivity dominates the dissipation in the regime of the limit to a contact discontinuity. This is the first result, based on the relative entropy, of an asymptotic limit to a discontinuous solutions for a system.

研究动机与目标

• 建立可压缩 Navier-Stokes-Fourier 系统向接触间断的零热导率极限。
• 分析当 $\kappa \to 0$ 时解的渐近行为，适用于任意波强和初值正则性。
• 将相对熵方法扩展至双曲系统中向不连续解的收敛分析。
• 证明在向接触间断极限时热导率主导耗散机制。

提出的方法

• 使用相对熵方法比较 Navier-Stokes-Fourier 系统的解与 Euler 系统中接触间断解之间的差异。
• 构造一个相对熵泛函，用于度量粘性解与不连续极限状态之间的距离。
• 采用加权测试函数 $\eta(x/\varepsilon)$ 局域化分析，聚焦于宽度为 $\varepsilon$ 的间断层附近。
• 在通过状态方程控制边界项与体积项后，对所得能量估计应用 Gronwall 不等式。
• 依赖热力学假设：$p = p_e(\tau) + \vartheta p_\vartheta(\tau)$，$e = P_e(\tau) + Q(\vartheta)$，其中 $p_e' \leq 0$，$p_\vartheta' \leq 0$，且 $C_v > 0$，以控制奇异项。
• 设定 $\varepsilon = \sqrt{\kappa}$ 且初始相对熵 $\mathcal{E}(0) = O(\sqrt{\kappa})$，从而实现 $\kappa^{1/2}$ 的衰减速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管缺乏光滑性，相对熵方法是否仍可应用于证明系统中向不连续解的收敛性？
• RQ2 在不连续性无小量假设下，相对熵在 $\kappa \to 0$ 时的最优衰减速率是什么？
• RQ3 在向接触间断极限时，热导率引起的耗散与粘性耗散相比如何？
• RQ4 接触间断在某种非齐次伪距离下的收缩性质是否足以实现收敛而无需平移或小量假设？
• RQ5 该方法是否能处理大初值和任意波强的接触间断情形？

主要发现

• 可压缩 Navier-Stokes-Fourier 系统的解在 $\kappa \to 0$ 时收敛至 Euler 系统中接触间断解，对任意 $\nu \geq 0$ 成立，且无小量假设。
• 收敛速率为 $\kappa^{1/2}$，通过设定 $\varepsilon = \sqrt{\kappa}$ 与 $\mathcal{E}(0) = O(\sqrt{\kappa})$ 实现。
• 在极限中热导率主导耗散，因为 $\kappa^{1/2}$ 速率慢于任何 $\nu$ 的幂次，表明 $\kappa$ 是主导耗散机制。
• 相对熵方法成功处理了系统中不连续极限的情形，将其适用范围从光滑解扩展至不连续解。
• 证明依赖于热力学状态方程 $p_e(\tau)$ 与 $p_\vartheta(\tau)$ 满足 $p_e' \leq 0$，$p_\vartheta' \leq 0$，且 $P_e(\tau) \sim \tau^{-(\gamma-1)}$，$\gamma \geq 2$，以控制奇异项。
• 接触间断在特定非齐次伪距离下的收缩性质使得证明无需平移，构成关键结构优势。