[论文解读] The irregularity of cyclic multiple planes after Zariski

Daniel Naie|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文通过将乘子理想相关线性系统的超过剩性之和表达为不规则性，将 Zariski 关于循环多重平面不规则性的定理推广至具有任意奇点的分支曲线。该方法依赖于标准循环覆盖和跳跃数，得出一个通过分支曲线乘子理想定义的理想层的上同调计算不规则性的公式。

ABSTRACT

A formula for the irregularity of a cyclic multiple plane associated to a branch curve that has arbitrary singularities and is transverse to the line at infinity is established. The irregularity is expressed as a sum of superabundances of linear systems associated to some multiplier ideals of the branch curve and the proof rests on the theory of standard cyclic coverings. Explicit computations of multiplier ideals are performed and some applications are presented.

研究动机与目标

• 将 Zariski 关于循环多重平面的不规则性公式推广至具有任意奇点的分支曲线。
• 利用乘子理想与跳跃数，建立 $ n $-循环多重平面不规则性的通用公式。
• 证明不规则性取决于无穷远直线相对于分支曲线的位置。
• 计算具有 $ x^p = y^q $ 奇点的曲线的乘子理想，并将其应用于具体例子。

提出的方法

• 本文使用标准循环覆盖理论，将去奇异化的 $ n $-循环多重平面的不规则性与分支曲线的上同调不变量联系起来。
• 提出一个公式，将不规则性表示为子单位跳跃数 $ \xi \in J(B,n) $ 的和，其中 $ J(B,n) \subset \frac{1}{\gcd(b,n)}\mathbb{Z} $。
• 对每个跳跃数 $ \xi $，其对不规则性的贡献为 $ h^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{I}_{Z(\xi B)}(-3 + \xi b)) $，其中 $ Z(\xi B) $ 由乘子理想 $ \mathcal{J}(\xi B) $ 定义。
• 该方法应用乘子理想及其相关跳跃数的理论，计算线性系统的超过剩性。
• 利用关于 $ x^p = y^q $ 奇点的乘子理想已知结果，计算具体例子。
• 通过包含直线构型与 $ A_5 $ 及尖点奇点的曲线的例子验证该方法，表明当 $ H_\infty $ 处于特殊位置时，不规则性会发生跃迁。

实验结果

研究问题

• RQ1 Zariski 关于循环多重平面的不规则性公式如何推广至具有任意奇点的分支曲线？
• RQ2 乘子理想与跳跃数在计算循环多重平面不规则性中起什么作用？
• RQ3 无穷远直线的位置如何影响 $ n $-循环多重平面的不规则性？
• RQ4 能否为具有 $ x^p = y^q $ 奇点的曲线推导出不规则性的显式公式？
• RQ5 在何种条件下，由于分支曲线与无穷远直线的几何结构，循环多重平面的不规则性会发生跃迁？

主要发现

• $ n $-循环多重平面的不规则性由公式 $ q(S) = \sum_{\xi \in J(B,n)} h^1(\mathbb{P}^2, \mathcal{I}_{Z(\xi B)}(-3 + \xi b)) $ 给出，其中 $ J(B,n) $ 是 $ \frac{1}{\gcd(b,n)}\mathbb{Z} $ 中的子单位跳跃数集合。
• 对于具有 $ A_5 $ 奇点且次数为 6 的曲线，当分支曲线不可约时，$ 6 $-循环多重平面的不规则性为 1；当尖点两两重合时，不规则性为 2。
• 在包含 9 条直线与 9 个三重点的直线构型中，当 $ 3 \mid n $ 时，不规则性为 1，这是由于通过三重点的三次系统具有超过剩性。
• 在包含 5 条直线与 2 个三重点的直线构型中，当 $ H_\infty $ 与之横截时，不规则性为 0；但当 $ H_\infty $ 经过两个三重点时，不规则性跃升至 1。
• 不规则性受任意直线上三重点数的最小值限制：$ q(S) \leq \min_i t_i $，其中 $ t_i $ 是直线 $ L_i $ 上的三重点数。
• 不规则性取决于 $ H_\infty $ 的位置；例如，在 5 条直线的构型中，当 $ H_\infty $ 经过两个三重点时，不规则性从 0 增加至 1。