[论文解读] The isometry group of an $\mathsf{RCD}^*$-space is Lie

Gerardo Sosa|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用 3

一句话总结

本论文在温和的几何与测度论条件下，证明了RCD$^*$-空间的等距群与保测度等距群均为李群。通过分析切锥与最优传输性质，作者证明了RCD$^*$-空间——作为里奇极限空间与加权黎曼流形的推广——满足光滑自同构群的必要与充分条件，从而解决了度量测度几何中的一个关键问题。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient conditions that show that both the group of isometries and the group of measure-preserving isometries are Lie groups for a large class of metric measure spaces. In addition we study, among other examples, whether spaces having a generalized lower Ricci curvature bound fulfill these requirements. The conditions are satisfied by RCD*-spaces and, under extra assumptions, by CD-spaces, CD*-spaces, and MCP-spaces. However, we show that the MCP-condition by itself is not enough to guarantee a smooth behavior of these automorphism groups. More generally we show that spaces with good optimal transport properties meet as well the hypotheses.

研究动机与目标

• 确定度量测度空间的等距群与保测度等距群成为李群的必要与充分条件。
• 研究曲率-维数条件（如RCD$^*$、CD、CD$^*$与MCP）是否蕴含等距群的光滑性。
• 阐明最优传输与切锥结构在确保自同构群具有李群结构中的作用。
• 表明MCP条件本身不足以保证李群结构，即使其他曲率界成立。
• 将黎曼与亚历山德罗夫空间中已知结果推广至具有广义里奇曲率界的一般度量测度空间类。

提出的方法

• 引入一个条件（a），涉及在小球内非平凡等距的固定点集的统一有界性，以确保群元素的有效分离。
• 应用切锥理论，假设m-几乎处处为欧几里得或良好行为的（如卡诺群）切锥，以控制局部群行为。
• 利用最优传输技术分析保测度等距，尤其在具有曲率-维数界的空间中。
• 应用文献中关于加倍测度与唯一切锥（如Le Donne定理）的结果，将框架扩展至黎曼几何之外。
• 通过投影与递归传输论证，将高维项链结构的分析约化为低维情形。
• 在项链结构中，通过在多个“钻石”上递归构造测地线传输，验证2-项链中MCP(2,3)条件的成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，度量测度空间的等距群为李群？
• RQ2 RCD$^*$-空间（作为里奇极限与加权黎曼流形的推广）是否具有李等距群？
• RQ3 测度收缩性质（MCP）是否足以保证等距群为李群？
• RQ4 能否通过最优传输性质与切锥正则性保证自同构群的光滑性？
• RQ5 固定点集条件（a）在确保等距群具有李群结构中起何作用？

主要发现

• 如推论1.2所示，RCD$^*$-空间的等距群与保测度等距群均为李群。
• 定理1.1中的条件（a）——在球内对固定点集进行统一有界——是等距群为李群的必要且充分条件。
• MCP条件本身不足以保证李群结构，如反例所示：无限项链空间满足$\text{ISO}(\text{FN}) = \text{ISO}_{\frak{m}}(\text{FN}) = \bigoplus_{\nu=1}^\nu \big\backslash \{ \pm 1 \}$。
• 2-项链中MCP(2,3)条件的证明依赖于在三个区域间递归构造测地线传输：从$\tilde{x}$到$\tilde{x}$，经$M^1$，再到$A_{x'}$，并保持相对高度比。
• 密度估计$\frac{d\frak{n}_t}{d\frak{m}}(\nu_t) \leq \frac{1}{t^2} \frac{h(x_t,D_1)}{h(x,D_1)} \frac{d\frak{n}_1}{d\frak{m}}(\nu_1)$用于验证第一段中的MCP不等式。
• 对于$t \in [\hat{t},1]$，相对密度在$y$-坐标上为常数，问题简化为已知满足MCP(2,3)的0-项链情形。