[论文解读] The Isomorphism Problem On Classes of Automatic Structures

Dietrich Kuske, Jiamou Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2010

semigroups and automata theory参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过证明自动等价关系的同构问题为 Π⁰₁-完全，高度 n ≥ 2 的自动树的同构问题为 Π⁰₂ₙ₋₃-完全，以及自动线性序的同构问题在算术层级的每一级均具有难解性，从而解决了自动结构同构问题的开放问题。这些结果通过从希尔伯特第十问题和丢番图编码出发的约化建立，表明线性序的内在复杂性超越了算术层级。

ABSTRACT

Automatic structures are finitely presented structures where the universe and all relations can be recognized by finite automata. It is known that the isomorphism problem for automatic structures is complete for $Σ^1_1$; the first existential level of the analytical hierarchy. Several new results on isomorphism problems for automatic structures are shown in this paper: (i) The isomorphism problem for automatic equivalence relations is complete for $Π^0_1$ (first universal level of the arithmetical hierarchy). (ii) The isomorphism problem for automatic trees of height $n \geq 2$ is $Π^0_{2n-3}$-complete. (iii) The isomorphism problem for automatic linear orders is not arithmetical. This solves some open questions of Khoussainov, Rubin, and Stephan.

研究动机与目标

• 确定自动等价关系这一基本自动结构类的同构问题的确切复杂度。
• 确立有限高度 n ≥ 2 的自动树的同构问题的精确复杂度，扩展先前关于自动结构的研究结果。
• 解决自动线性序同构问题复杂度的开放问题，该问题此前被认为具有高度不可判定性。
• 开发一种基于丢番图编码和希尔伯特第十问题的新证明技术，克服先前自动机理论约化方法的局限性。
• 证明自动结构之间的同构关系可能无法在算术层级的低层级中定义，即使这些结构是同构的。

提出的方法

• 利用马蒂亚谢维奇定理将递归可枚举集编码为自动结构，通过有理生成函数和其值域性质实现。
• 构造自动等价关系，使其同构问题约化为有理生成函数值域问题的补集，而该问题已知为 Π⁰₁-完全。
• 通过嵌套的丢番图约束建模树结构并使用递归深度编码，将丢番图编码技术扩展至有限高度的自动树。
• 应用从 (ℕ; +, ×) 的全阶逻辑理论到自动线性序同构问题的统一约化，证明其在算术层级每一级均具有难解性。
• 通过证明同构关系的存在性为 Σ⁰ₖ₊₂-完全，证明自动结构之间的同构关系可能不是任何固定 k 的 Σ⁰ₖ-可定义，从而表明其定义复杂度可能很高。
• 使用一种保持自动性但将线性序的 FC-秩降低至 1 的变换，表明即使在低复杂度的自动线性序中，也继承了同构问题的一般复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 自动等价关系的同构问题是否可判定？若不可判定，其确切复杂度为何？
• RQ2 有限高度 n ≥ 2 的自动树的同构问题的精确复杂度是什么？
• RQ3 自动线性序的同构问题是否可判定，或其复杂度是否已超出算术层级？
• RQ4 自动结构的同构问题能否约化为希尔伯特第十问题等已知不可判定问题？
• RQ5 是否存在同构但其同构关系无法在算术层级低层级中定义的自动结构？

主要发现

• 自动等价关系的同构问题为 Π⁰₁-完全，解决了 Khoussainov、Rubin 和 Stephan 提出的开放问题。
• 对于高度 n ≥ 2 的自动树，其同构问题为 Π⁰₂ₙ₋₃-完全，其中 n = 2 的基例对应于 Π⁰₁-完全性。
• 自动线性序的同构问题在算术层级的每一级均具有难解性，意味着其复杂度至少与 (ℕ; +, ×) 的全一阶理论相当。
• 自动线性序的同构问题不是算术的，其复杂度与算术理论递归等价。
• 对任意 k ∈ ℕ，存在同构的有限高度自动树与线性序，其同构关系不存在 Σ⁰ₖ-定义，表明同构关系可能需要高阶定义复杂度。
• 高度至多为 n 的递归树的同构问题为 Π⁰₂ₙ-完全，表明在此背景下递归结构与自动结构之间存在紧密联系。