[论文解读] The Jacobian cocycle and equidistribution towards the Green current

Manuel Rodrigo Parra|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 11

一句话总结

该论文在所有完全不变代数集的正规化具有至多孤立商奇点的条件下，建立了复射影空间上全纯映射下正闭(1,1)-当前的归一化提升拉回的等分布性，其极限为格林当前。关键结果是存在一个有限的完全不变代数集例外族，使得等分布性成立当且仅当当前在这些集合上无质量。

ABSTRACT

Given a holomorphic self-map of complex projective space of degree larger than one, we prove that there exists a finite collection of totally invariant algebraic sets with the following property: given any positive closed (1,1)-current of mass 1 with no mass on any element of this family, the sequence of normalized pull-backs of the current converges to the Green current. Under suitable geometric conditions on the collection of totally invariant algebraic sets, we prove a sharper equidistribution result.

研究动机与目标

• 刻画归一化拉回(1,1)-当前在复射影空间中收敛至格林当前的条件。
• 将一维和二维情况下的等分布原理推广至更高维（k ≥ 3），其中完全不变集的分类尚不清晰。
• 识别出一个有限的例外代数集族，该族阻碍等分布性，推广k=1和k=2时的已知结果。
• 证明在不变集具有温和奇点条件的前提下，所有在该例外族上无质量的当前，其等分布性成立。
• 通过代数几何中的分类结果，在三维情形下验证奇点条件，从而获得一个精确的等分布结果。

提出的方法

• 引入雅可比上链μₙ(x) = k + ordₓ(Jac(fⁿ))，以度量迭代雅可比行列式零点的阶数。
• 将例外集E定义为满足μₙ(x)以至少δdⁿ的速度增长的点的集合，利用定理4.3证明E是代数集。
• 利用雅可比上链与零点阶数的性质，建立一致衰减估计：当x∉E时，sup μₙ(x) ≤ Cρⁿ，其中ρ < d。
• 利用μₙ(x)的衰减性，控制拉回当前d⁻ⁿ(fⁿ)⁎S的Lelong数，从而确保其收敛至格林当前。
• 应用双有理几何中的结果——特别是klt与对数可极化奇点——于完全不变集的正规化，以验证奇点条件。
• 借助Zhang与Favre对ℙ³中曲面的分类结果，确认在三维情形下奇点条件成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，序列d⁻ⁿ(fⁿ)⁎S收敛至复射影空间中正闭(1,1)-当前S的格林当前T_f？
• RQ2 完全不变代数集在阻碍拉回当前等分布性中起何种作用？
• RQ3 在更高维（k ≥ 3）中，能否在完全不变集奇点的几何条件约束下建立等分布结果？
• RQ4 雅可比上链μₙ(x)如何控制拉回当前中质量的集中？
• RQ5 阻碍等分布性的例外集族在高维中是否有限且可计算？

主要发现

• 存在一个有限族ℰ_f，由不可约的完全不变代数集组成，使得当S在ℰ_f的任一元素上无质量时，有d⁻ⁿ(fⁿ)⁎S → T_f（在当前意义下）。
• 例外族ℰ_f与k=1和k=2情形下的已知族一致，推广了Brolin–Lyubich与Favre–Jonsson的结果。
• 关键技术条件——即所有完全不变代数集的正规化具有至多孤立商奇点——在k=3维中成立。
• 在k=3维中，推论B确认：在奇点条件下，所有在例外族上无质量的当前，其等分布性成立。
• 雅可比上链μₙ(x)满足sup_{x∉E} μₙ(x) ≤ Cρⁿ，其中ρ < d，这意味着d⁻ⁿ(fⁿ)⁎S的Lelong数一致衰减。
• 衰减率(ρ/d)ⁿ确保拉回当前的Lelong数在极限下趋于零，从而保证收敛至格林当前。