[论文解读] The Jones polynomial: quantum algorithms and applications in quantum complexity theory

Paweł Wocjan, Jon Yard|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用 19

一句话总结

本文通过 braid 群的酉表示，提出了近似 Jones 多项式及其推广——HOMFLYPT 多项式的高效量子算法。它证明了在单位根处对 Jones 多项式的加法近似足以实现通用量子计算，建立了相关问题的 QCMA- 和 PSPACE-完全性，并提供了学习 Jones 多项式显著位的 #P-难性的简化、基于量子的证明。

ABSTRACT

We analyze relationships between quantum computation and a family of generalizations of the Jones polynomial. Extending recent work by Aharonov et al., we give efficient quantum circuits for implementing the unitary Jones-Wenzl representations of the braid group. We use these to provide new quantum algorithms for approximately evaluating a family of specializations of the HOMFLYPT two-variable polynomial of trace closures of braids. We also give algorithms for approximating the Jones polynomial of a general class of closures of braids at roots of unity. Next we provide a self-contained proof of a result of Freedman et al. that any quantum computation can be replaced by an additive approximation of the Jones polynomial, evaluated at almost any primitive root of unity. Our proof encodes two-qubit unitaries into the rectangular representation of the eight-strand braid group. We then give QCMA-complete and PSPACE-complete problems which are based on braids. We conclude with direct proofs that evaluating the Jones polynomial of the plat closure at most primitive roots of unity is a #P-hard problem, while learning its most significant bit is PP-hard, circumventing the usual route through the Tutte polynomial and graph coloring.

研究动机与目标

• 开发用于实现 braid 群 Jones-Wenzl 表示的高效量子线路。
• 将近似 Jones 多项式的量子算法扩展至更广泛的 braid 闭包类与 HOMFLYPT 多项式。
• 提供一个简化的证明，表明在单位根处对 Jones 多项式的加法近似足以实现通用量子计算。
• 基于 braid 构造新的复杂性理论问题，包括 QCMA- 和 PSPACE-完全性结果。
• 通过直接的、基于量子的证明，建立学习 Jones 多项式显著位的 #P-难性，绕过 Tutte 多项式与图着色。

提出的方法

• 使用局部两比特酉操作，构造实现 braid 群 Jones-Wenzl 酉表示的高效量子线路。
• 将两比特量子门编码至八股 braid 群的矩形表示中，利用四周期性简化门的实现。
• 利用酉表示，通过量子线路计算 Jones 多项式与 HOMFLYPT 多项式评估的加法近似。
• 通过将量子线路的模拟转化为编织操作，将量子门编码为 braid，采用每量子比特四股编码以简化实现。
• 利用 Hecke 代数结构，推导 Jones 与 HOMFLYPT 多项式的表示论公式。
• 通过证明学习 Jones 多项式的最高有效位对应于求解 #P- 和 PP-难问题，建立硬度结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于 braid 群表示构造出近似 Jones 多项式与 HOMFLYPT 多项式的高效量子算法？
• RQ2 在单位根处对 Jones 多项式的加法近似是否足以模拟通用量子计算？
• RQ3 能否使用每量子比特四股编码而非三股编码，来简化用 braid 模拟量子线路？
• RQ4 学习 braid 的 plat-闭包的 Jones 多项式的最高有效位是否为 PP-难？
• RQ5 学习 Jones 多项式中线性数量的最高有效位是否为 #P-难？

主要发现

• 本文构造的量子线路在 braid 群的 Jones-Wenzl 表示上运行，其时间复杂度关于股数与交叉数为多项式，且线路深度关于股数也为多项式。
• 当参数 ℓ 增长时，算法在 ℓ 为常数的条件下，仍能以多项式时间实现 HOMFLYPT 多项式评估的加法近似，且与 ℓ 的增长无关。
• 作者提供了简化的证明，表明 braid 的 plat-闭包的 Jones 多项式的加法近似是通用量子计算的等价物，即等价于 BQP。
• 通过共轭增加 braid 的 plat-闭包的 Jones 多项式的問題被证明是 QCMA-完全的，确立了 NP-完全性的量子类比。
• 对 braid 进行指数次串联后近似其 Jones 多项式的問題被证明是 PSPACE-完全的。
• 学习 braid 的 plat-闭包的 Jones 多项式的最高有效位是 PP-难的，而学习其线性数量的最高有效位是 #P-难的，且该结果通过直接的、基于量子的证明获得，无需经过图着色与 Tutte 多项式。