[论文解读] The Jordan-Hölder series of the locally analytic Steinberg representation

Sascha Orlik, Benjamin Schraen|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文确定了分裂半单 $p$-进李群 $G$ 的局部解析 Steinberg 表示 $V^G_B$ 的 Jordan-Hölder 合成因子（含重数）。通过局部解析 BGG-分解和所求局部解析 Tits 复形的消影性，作者证明每个不可约分支均形如 ${\mathcal{F}}^{G}_{P_I}(L(w\cdot 0), v^{P_I}_{P_J})$，其重数由关于支持为 $J$ 的 $w'$ 的 Kazhdan-Lusztig 重数 $m(w',w)$ 的带符号和给出，且光滑 Steinberg 表示是唯一的光滑子商表示。

ABSTRACT

We determine the composition factors of a Jordan-Hölder series including multiplicities of the locally analytic Steinberg representation. For this purpose we prove the acyclicity of the evaluated locally analytic Tits complex giving rise to the Steinberg representation. Further we describe some analogue of the Jacquet functor applied to the irreducible principal series representation constructed by Orlik and Strauch.

研究动机与目标

• 确定分裂半单 $p$-进李群的局部解析 Steinberg 表示 $V^G_B$ 的合成因子（含重数）。
• 证明所求局部解析 Tits 复形的消影性，从而将问题约化为诱导表示。
• 通过函子 ${\mathcal{F}}^G_P$ 作用于最高权模与光滑广义 Steinberg 表示，描述不可约分支的结构。
• 利用 Kazhdan-Lusztig 理论与 Weyl 群支持条件，建立重数的精确公式。
• 解决 Teitelbaum 提出的关于 $V^G_B$ 的 Jordan-Hölder 级数的问题。

提出的方法

• 利用函子 ${\mathcal{F}}^G_P$ 的双正合性与局部解析 BGG-分解，证明所求局部解析 Tits 复形的消影性。
• 将函子 ${\mathcal{F}}^G_P(M,V)$ 应用于不可约最高权模 $M = L(w\cdot 0)$ 与光滑广义 Steinberg 表示 $V = v^{P_I}_{P_J}$。
• 利用 BGG 分解将 Tits 复形的同调与 Verma 模及其合成因子联系起来。
• 运用 Kazhdan-Lusztig 理论计算 $L(w\cdot 0)$ 在 Verma 模 $M(w'\cdot 0)$ 中的重数 $m(w',w)$。
• 利用支持条件 ${\rm supp}(w') = J$ 限制重数公式中 $w'$ 的求和范围。
• 通过证明不可约性与同构性由数据 $(M,V)$ 控制，建立 ${\mathcal{F}}^G_P(M,V)$ 的同构判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部解析 Steinberg 表示 $V^G_B$ 的合成因子（含重数）是什么？
• RQ2 局部解析 Tits 复形的消影性如何影响 $V^G_B$ 的结构？
• RQ3 在何种条件下，形如 ${\mathcal{F}}^G_P(L(w\cdot 0), v^{P_I}_{P_J})$ 的两个表示同构？
• RQ4 能否用 Kazhdan-Lusztig 多项式或重数来表达 $V^G_B$ 中不可约分支的重数？
• RQ5 光滑 Steinberg 表示是否是 $V^G_B$ 的唯一光滑子商表示？

主要发现

• 不可约表示 ${\mathcal{F}}^G_{P_I}(L(w\cdot 0), v^{P_J}_{P_I})$ 在 $V^G_B$ 中的重数为 $\sum_{w' \in W \atop {\rm supp}(w')=J} (-1)^{\ell(w') + |J|} m(w',w)$。
• 当且仅当 $J \subset {\rm supp}(w)$ 时，表示 ${\mathcal{F}}^G_{P_I}(L(w\cdot 0), v^{P_J}_{P_I})$ 以非零重数出现。
• 光滑 Steinberg 表示是 $V^G_B$ 的唯一光滑子商表示，对应于 $I = \Delta$，$J = \emptyset$，且 $w$ 为 Coxeter 元素的情形。
• 通过 BGG-分解与 ${\mathcal{F}}^G_P$ 函子的双正合性，确立了所求局部解析 Tits 复形的消影性。
• 复形 $C_\bullet({\mathfrak{g}}, I)$ 同构于 $U({\mathfrak{g}}) \otimes_{U({\mathfrak{p}}_I)} C_\bullet({\mathfrak{l}}_I)$，且在正度数上是正合的。
• 复形 $\overline{C}_\bullet({\mathfrak{g}}, I)$ 在度数 $> |I|$ 上正合，且 $M_I$ 是 $H_{|I|}(\overline{C}_\bullet({\mathfrak{g}}, I))$ 的商，从而导出重数上界与支持条件。